题目

14. (1)已知 P(overline(A))=0.3, P(B)=0.4, P(Aoverline(B))=0.5, 求条件概率 P(B|Acupoverline(B)). (2)已知 P(A)=1/4, P(B|A)=1/3, P(A|B)=1/2, 求 P(Acup B).

14. (1)已知 $P(\overline{A})=0.3$, $P(B)=0.4$, $P(A\overline{B})=0.5$, 求条件概率 $P(B|A\cup\overline{B})$. (2)已知 $P(A)=1/4$, $P(B|A)=1/3$, $P(A|B)=1/2$, 求 $P(A\cup B)$.

题目解答

答案

(1) **求条件概率 $P(B|A\cup\overline{B})$** 已知：$P(\overline{A})=0.3$，$P(B)=0.4$，$P(A\overline{B})=0.5$ 计算： - $P(A)=1-0.3=0.7$ - $P(AB)=P(A)-P(A\overline{B})=0.7-0.5=0.2$ - $P(A\cup\overline{B})=P(A)+P(\overline{B})-P(A\overline{B})=0.7+0.6-0.5=0.8$ - $P(B|A\cup\overline{B})=\frac{P(AB)}{P(A\cup\overline{B})}=\frac{0.2}{0.8}=0.25$ 答案：$\boxed{0.25}$ (2) **求 $P(A\cup B)$** 已知：$P(A)=\frac{1}{4}$，$P(B|A)=\frac{1}{3}$，$P(A|B)=\frac{1}{2}$ 计算： - $P(AB)=P(B|A)P(A)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$ - $P(B)=\frac{P(AB)}{P(A|B)}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{6}$ - $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$ 答案：$\boxed{\frac{1}{3}}$

解析

（1）条件概率计算
本题考查条件概率公式的应用，关键在于正确计算分母事件$A \cup \overline{B}$的概率。需利用概率的加法公式展开事件，并结合已知条件求出中间量$P(AB)$。

（2）联合概率与并集概率
本题需通过条件概率的定义和贝叶斯定理，先求出$P(B)$和$P(AB)$，再利用并集概率公式计算$P(A \cup B)$。

第（1）题

求$P(A)$

由$P(\overline{A}) = 0.3$，得：
$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0.3 = 0.7.$

求$P(AB)$

根据$P(A\overline{B}) = 0.5$，利用分解公式：
$P(AB) = P(A) - P(A\overline{B}) = 0.7 - 0.5 = 0.2.$

求$P(A \cup \overline{B})$

展开事件并代入已知值：
$\begin{aligned}P(A \cup \overline{B}) &= P(A) + P(\overline{B}) - P(A\overline{B}) \\&= 0.7 + (1 - P(B)) - 0.5 \\&= 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8.\end{aligned}$

求条件概率

代入条件概率公式：
$P(B|A \cup \overline{B}) = \frac{P(AB)}{P(A \cup \overline{B})} = \frac{0.2}{0.8} = 0.25.$

第（2）题

求$P(AB)$

由条件概率定义：
$P(AB) = P(B|A) \cdot P(A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}.$

求$P(B)$

利用$P(A|B) = \frac{1}{2}$，结合公式：
$P(B) = \frac{P(AB)}{P(A|B)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6}.$

求$P(A \cup B)$

代入并集公式：
$\begin{aligned}P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(AB) \\&= \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} \\&= \frac{3}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}.\end{aligned}$