2.lim_(ntoinfty)(sqrt(1+2+3+...+n))/(n+2)=( ) (A.)(1)/(2) (B.)(sqrt(2))/(2) (C.)0 (D.)infty

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，涉及前$n$个正整数和公式的应用，以及通过约简最高次项求极限的方法。

解题核心思路：

1. 利用前$n$项和公式将分子中的求和式转化为关于$n$的表达式；
2. 化简分子和分母，通过分子分母同除以$n$的方式，将极限转化为关于$\frac{1}{n}$的表达式；
3. 代入极限，当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，从而求出最终结果。

破题关键点：

• 正确应用前$n$项和公式：$1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$；
• 分子分母同除以$n$，将表达式转化为关于$\frac{1}{n}$的形式，便于极限计算。

步骤1：化简分子
根据前$n$个正整数和公式：
$1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$
因此，分子可表示为：
$\sqrt{1+2+\cdots+n} = \sqrt{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{2}}$

步骤2：代入原式并化简
原式变为：
$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{2}(n+2)}$

步骤3：分子分母同除以$n$
分子：$\sqrt{n(n+1)} = n\sqrt{1+\frac{1}{n}}$
分母：$n+2 = n\left(1+\frac{2}{n}\right)$
代入后表达式为：
$\lim_{n \to \infty} \frac{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{\sqrt{2} \cdot n\left(1+\frac{2}{n}\right)} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{\sqrt{2}\left(1+\frac{2}{n}\right)}$

步骤4：代入极限
当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，因此：
$\frac{\sqrt{1+0}}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$