题目

求向量组 _(1)=((1,2,1,4))^T , _(1)=((1,2,1,4))^T , _(1)=((1,2,1,4))^T,_(1)=((1,2,1,4))^T, _(1)=((1,2,1,4))^T 的秩及其一个极大无关组，并将剩余向量用该极大无关组线性表示。

求向量组 $\alpha_1=(1,2,1,4)^T$ , $\alpha_2=(1,1,2,3)^T$ , $\alpha_3=(1,3,0,5)^T$ , $\alpha_4=(1,-1,6,-1)^T$ , $\alpha_5=(-1,1,-2,-3)^T$ 的秩及其一个极大无关组，并将剩余向量用该极大无关组线性表示。

题目解答

答案

要求向量组的秩

我们令矩阵 $A=\begin{pmatrix} \alpha _{1} &\alpha _{2} &\alpha _{3} &\alpha _{4} &\alpha _{5} \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1&1 &1 & 1 &-1 \\ 2&1 &3 &-1 &1 \\ 1&2 &0 & 6 &-2 \\ 4& 3& 5 &-1 &-3 \end{pmatrix}$

即就是要求矩阵A 的秩。我们对矩阵A仅施以初等行变换，可得

$\begin{pmatrix} 1&1 &1 & 1 &-1 \\ 2&1 &3 &-1 &1 \\ 1&2 &0 & 6 &-2 \\ 4& 3& 5 &-1 &-3 \end{pmatrix}$ $\xrightarrow[r_{3}-r_{2} 、r_{4}-4r_{1} ]{r_{2}-2r_{1} }$

$\begin{pmatrix} 1&1 &1 & 1 &-1 \\ 0&-1 &1 &-3 &3 \\ 0&1 &-1 & 5 &-1 \\ 0& -1 &1 &-5 &1 \end{pmatrix}$ $\xrightarrow[ ]{r_{4}+r_{3} }$ $\begin{pmatrix} 1&1 &1 & 1 &-1 \\ 0&-1 &1 &-3 &3 \\ 0&1 &-1 & 5 &-1 \\ 0& 0 &0 &0 &0 \end{pmatrix}$ $\xrightarrow[r_{3}\times \frac{1}{2} ]{r_{3} +r_{2}}$ $\begin{pmatrix} 1&1 &1 & 1 &-1 \\ 0&-1 &1 &-3 &3 \\ 0&0 &0 & 1 &1 \\ 0& 0 &0 &0 &0 \end{pmatrix}$ $\xrightarrow[r_{1}-r_{3} ]{r_{2} +3r_{3}}$

$\begin{pmatrix} 1&1 &1 & 0 &-2 \\ 0&-1 &1 &0 &6 \\ 0&0 &0 & 1 &1 \\ 0& 0 &0 &0 &0 \end{pmatrix}$ $\xrightarrow[r_{2}\times (-1) ]{r_{1} +r_{2}}$

$\begin{pmatrix} 1&0 &2 & 0 &4 \\ 0&1 &-1 &0 &-6 \\ 0&0 &0 & 1 &1 \\ 0& 0 &0 &0 &0 \end{pmatrix}$

由最后一个矩阵可知，向量组 $\alpha_1=(1,2,1,4)^T$ , $\alpha_2=(1,1,2,3)^T$ , $\alpha_3=(1,3,0,5)^T$ , $\alpha_4=(1,-1,6,-1)^T$ , $\alpha_5=(-1,1,-2,-3)^T$ 的秩 $r=3$

$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$ 为一个极大无关组，且有 $\alpha_3=2\alpha_1-\alpha_2$ ， $\alpha_5=4\alpha_1-6\alpha_2+\alpha_4$

解析

步骤 1：构造矩阵
构造一个矩阵A，其列向量为给定的向量组 ${x}_{1}={(1,2,1,4)}^{T}$ , ${x}_{2}=(1,1,2,3)T$ , ${x}_{3}=(1,3,0,5)T$,${x}_{4}=(1,-1,6,-1)$, ${x}_{5}=(-1,1,-2,-3)T$。
步骤 2：初等行变换
对矩阵A进行初等行变换，以求得其行最简形。
步骤 3：确定秩和极大无关组
根据行最简形矩阵，确定向量组的秩和一个极大无关组。
步骤 4：线性表示
利用极大无关组，将剩余向量表示为极大无关组的线性组合。

求向量组 _(1)=((1,2,1,4))^T , _(1)=((1,2,1,4))^T , _(1)=((1,2,1,4))^T,_(1)=((1,2,1,4))^T, _(1)=((1,2,1,4))^T 的秩及其一个极大无关组， 并将剩余向量用该极大无关组线性表示。

题目解答

答案

解析

求向量组 _(1)=((1,2,1,4))^T , _(1)=((1,2,1,4))^T , _(1)=((1,2,1,4))^T,_(1)=((1,2,1,4))^T, _(1)=((1,2,1,4))^T 的秩及其一个极大无关组，并将剩余向量用该极大无关组线性表示。