题目
[例16](1993,数三)当 arrow 0 时,变量 dfrac (1)({x)^2}sin dfrac (1)(x) 是-|||-(A)无穷小. (B)无穷大.-|||-(C)有界的,但不是无穷小. (D)无界的,但不是无穷大.
题目解答
答案
D. 无界的,但不是无穷大.
解析
步骤 1：定义变量
设 $x_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}$，其中 $n$ 是自然数。当 $n$ 趋向于无穷大时，$x_n$ 趋向于 0。
步骤 2：计算极限
计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_n^2} \sin \frac{1}{x_n}$。
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_n^2} \sin \frac{1}{x_n} = \lim_{n \to \infty} (2n\pi + \frac{\pi}{2})^2 \sin (2n\pi + \frac{\pi}{2}) = \lim_{n \to \infty} (2n\pi + \frac{\pi}{2})^2 \cdot 1 = \infty
\]
步骤 3：定义变量
设 $y_n = \frac{1}{2n\pi}$，其中 $n$ 是自然数。当 $n$ 趋向于无穷大时，$y_n$ 趋向于 0。
步骤 4：计算极限
计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{y_n^2} \sin \frac{1}{y_n}$。
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{y_n^2} \sin \frac{1}{y_n} = \lim_{n \to \infty} (2n\pi)^2 \sin (2n\pi) = \lim_{n \to \infty} (2n\pi)^2 \cdot 0 = 0
\]
步骤 5：结论
由于 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_n^2} \sin \frac{1}{x_n} = \infty$，所以 $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是无界的。由于 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{y_n^2} \sin \frac{1}{y_n} = 0$，所以 $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 不是无穷大。
设 $x_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}$，其中 $n$ 是自然数。当 $n$ 趋向于无穷大时，$x_n$ 趋向于 0。
步骤 2：计算极限
计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_n^2} \sin \frac{1}{x_n}$。
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_n^2} \sin \frac{1}{x_n} = \lim_{n \to \infty} (2n\pi + \frac{\pi}{2})^2 \sin (2n\pi + \frac{\pi}{2}) = \lim_{n \to \infty} (2n\pi + \frac{\pi}{2})^2 \cdot 1 = \infty
\]
步骤 3：定义变量
设 $y_n = \frac{1}{2n\pi}$，其中 $n$ 是自然数。当 $n$ 趋向于无穷大时，$y_n$ 趋向于 0。
步骤 4：计算极限
计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{y_n^2} \sin \frac{1}{y_n}$。
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{y_n^2} \sin \frac{1}{y_n} = \lim_{n \to \infty} (2n\pi)^2 \sin (2n\pi) = \lim_{n \to \infty} (2n\pi)^2 \cdot 0 = 0
\]
步骤 5：结论
由于 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_n^2} \sin \frac{1}{x_n} = \infty$，所以 $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是无界的。由于 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{y_n^2} \sin \frac{1}{y_n} = 0$，所以 $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 不是无穷大。