(6)收敛, lim _(narrow infty )dfrac ({2)^n-1}({3)^n}=0.-|||-(7) n-dfrac {1)(n)} 发散.-|||-(8) [ {(-1))^n+1] dfrac (n+1)(n)} 发散.-|||-1.下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散?对收敛数列,通过观察(xn)的变化-|||-趋势,写出它们的极限:-|||-(1) dfrac {1)({2)^n}} ;-|||-(2) {(-1))^ndfrac (1)(n)} ;-|||-(3) 2+dfrac {1)({n)^2}} ;-|||-(4)11-|||-(5) n{(-1))^n} ;-|||-(6)[2^(n-1)]-|||-(7) n-dfrac {1)(n)} ;-|||-(8) [ {(-1))^n+1] dfrac (n+1)(n)} -|||-解(1)收敛, lim _(narrow infty )dfrac (1)({2)^n}=0.-|||-(2)收敛, lim _(narrow infty )((-1))^ndfrac (1)(n)=0.-|||-(3)收敛, lim _(narrow infty )(2+dfrac (1)({n)^2})=2.-|||-(4)收敛, lim _(narrow infty )dfrac (n-1)(n+1)=1.-|||-()
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查函数在分段点处的连续性判断，以及间断点类型的判定。
解题核心思路：
- 分段函数的分段点处，需分别计算左极限和右极限；
- 比较左右极限是否相等，若相等且等于函数值，则连续；否则为间断点；
- 第一类间断点（跳跃间断点）的特征是左右极限存在但不相等。
关键点：
- 分段点两侧的表达式不同，需注意趋近方向；
- 极限计算需结合分段函数的定义域划分。
题目：讨论函数
$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - x^{2n}}{1 + x^{2n}}$
的分段点 $x = -1$ 和 $x = 1$ 处的连续性，并判断间断点类型。
分析函数表达式：
通过分析极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1 - x^{2n}}{1 + x^{2n}}$，可得分段函数：
$f(x) =
\begin{cases} -x, & |x| > 1, \\0, & |x| = 1, \\x, & |x| < 1.\end{cases}$
分段点 $x = -1$ 处
计算左极限（$x \to -1^-$）
当 $x < -1$ 时，$|x| > 1$，此时 $f(x) = -x$。
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (-x) = -(-1) = 1.$
计算右极限（$x \to -1^+$）
当 $-1 < x < 1$ 时，$|x| < 1$，此时 $f(x) = x$。
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x = -1.$
比较左右极限与函数值
- 左极限 $1 \neq$ 右极限 $-1$，因此 左右极限不相等；
- 函数在 $x = -1$ 处定义为 $f(-1) = 0$，但左右极限均不等于 $0$。
结论：$x = -1$ 为 第一类间断点（跳跃间断点）。
分段点 $x = 1$ 处
计算左极限（$x \to 1^-$）
当 $x < 1$ 时，$|x| < 1$，此时 $f(x) = x$。
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x = 1.$
计算右极限（$x \to 1^+$）
当 $x > 1$ 时，$|x| > 1$，此时 $f(x) = -x$。
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (-x) = -1.$
比较左右极限与函数值
- 左极限 $1 \neq$ 右极限 $-1$，因此 左右极限不相等；
- 函数在 $x = 1$ 处定义为 $f(1) = 0$，但左右极限均不等于 $0$。
结论：$x = 1$ 为 第一类间断点（跳跃间断点）。