题目
3.设 +2y+z-2sqrt (xyz)=0 ,求 dfrac (partial z)(partial x) 及 dfrac (partial z)(partial y) .
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数
设 $F(x,y,z)=x+2y+z-2\sqrt {xyz}$，则 $F(x,y,z)=0$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $F$ 对 $x$、$y$、$z$ 的偏导数：
${F}_{x}=1-\dfrac {yz}{\sqrt {xyz}}$
${F}_{y}=2-\dfrac {xz}{\sqrt {xyz}}$
${F}_{z}=1-\dfrac {xy}{\sqrt {xyz}}$
步骤 3：求解偏导数
当 ${F}_{z}\neq 0$ 时，根据隐函数求导法则，有：
$\dfrac {\partial z}{\partial x}=-\dfrac {{F}_{x}}{{F}_{z}}=\dfrac {yz-\sqrt {xyz}}{\sqrt {xyz}-xy}$
$\dfrac {\partial z}{\partial y}=-\dfrac {{F}_{y}}{{F}_{z}}=\dfrac {xz-2\sqrt {xyz}}{\sqrt {xyz}-xy}$
设 $F(x,y,z)=x+2y+z-2\sqrt {xyz}$，则 $F(x,y,z)=0$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $F$ 对 $x$、$y$、$z$ 的偏导数：
${F}_{x}=1-\dfrac {yz}{\sqrt {xyz}}$
${F}_{y}=2-\dfrac {xz}{\sqrt {xyz}}$
${F}_{z}=1-\dfrac {xy}{\sqrt {xyz}}$
步骤 3：求解偏导数
当 ${F}_{z}\neq 0$ 时，根据隐函数求导法则，有：
$\dfrac {\partial z}{\partial x}=-\dfrac {{F}_{x}}{{F}_{z}}=\dfrac {yz-\sqrt {xyz}}{\sqrt {xyz}-xy}$
$\dfrac {\partial z}{\partial y}=-\dfrac {{F}_{y}}{{F}_{z}}=\dfrac {xz-2\sqrt {xyz}}{\sqrt {xyz}-xy}$