单选(共40题,共80分) 8[单选题,2分] 当x→0时,用o(x)表示比x高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( ) (A)x·o(x^2)=o(x^3); (B)o(x)cdot o(x^2)=o(x^3); (C)o(x^2)+o(x^2)=o(x^2); (D)o(x)+o(x^2)=o(x^2). A A. B B. C C. D D.

考查要点：本题主要考查无穷小阶的比较及运算性质，需掌握高阶无穷小的定义及运算规则。

解题核心思路：

1. 高阶无穷小定义：若$\lim_{x \to 0} \frac{o(x^n)}{x^n} = 0$，则称$o(x^n)$是比$x^n$高阶的无穷小。
2. 运算性质：
   • 乘法：$o(x^m) \cdot o(x^n) = o(x^{m+n})$；
   • 加法：同阶高阶无穷小相加，结果仍为高阶无穷小；不同阶时，结果由低阶项决定。

破题关键：通过极限验证各选项是否满足高阶无穷小的定义，特别注意加法运算中低阶项的主导作用。

选项A：$x \cdot o(x^2) = o(x^3)$

• 推导：
  设$o(x^2) = \alpha(x)$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{x^2} = 0$。
  计算$x \cdot \alpha(x)$的阶：
  $\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \alpha(x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{x^2} = 0$
  因此，$x \cdot o(x^2) = o(x^3)$，正确。

选项B：$o(x) \cdot o(x^2) = o(x^3)$

• 推导：
  设$o(x) = \alpha(x)$，$o(x^2) = \beta(x)$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{x} = 0$，$\lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{x^2} = 0$。
  计算乘积的阶：
  $\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x) \cdot \beta(x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\alpha(x)}{x} \cdot \frac{\beta(x)}{x^2} \right) = 0 \cdot 0 = 0$
  因此，$o(x) \cdot o(x^2) = o(x^3)$，正确。

选项C：$o(x^2) + o(x^2) = o(x^2)$

• 推导：
  设两个$o(x^2)$分别为$\alpha(x)$和$\beta(x)$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{x^2} = 0$，$\lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{x^2} = 0$。
  计算和的阶：
  $\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x) + \beta(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\alpha(x)}{x^2} + \frac{\beta(x)}{x^2} \right) = 0 + 0 = 0$
  因此，$o(x^2) + o(x^2) = o(x^2)$，正确。

选项D：$o(x) + o(x^2) = o(x^2)$

• 反例验证：
  取$o(x) = x^2$（满足$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0$），$o(x^2) = x^3$（满足$\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2} = 0$）。
  计算和的阶：
  $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + x^3}{x^2} = \lim_{x \to 0} (1 + x) = 1 \neq 0$
  因此，$o(x) + o(x^2) \neq o(x^2)$，错误。