2.求函数 =ln (1+(x)^2+(y)^2) () 当 =1, y=2 时的全微分.

步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数 $z=\ln (1+{x}^{2}+{y}^{2})$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。
对于 $x$ 的偏导数，我们有：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{1+x^2+y^2}$$
对于 $y$ 的偏导数，我们有：
$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{1+x^2+y^2}$$

步骤 2：代入 x=1, y=2
将 $x=1$ 和 $y=2$ 代入上述偏导数中，得到：
$$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{x=1,y=2} = \frac{2 \cdot 1}{1+1^2+2^2} = \frac{2}{1+1+4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
$$\frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{x=1,y=2} = \frac{2 \cdot 2}{1+1^2+2^2} = \frac{4}{1+1+4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

步骤 3：计算全微分
全微分 $dz$ 可以表示为：
$$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$$
将步骤 2 中计算得到的偏导数代入，得到：
$$dz\bigg|_{x=1,y=2} = \frac{1}{3}dx + \frac{2}{3}dy$$