13.证明方程 sin x+x+1=0 在开区间 (-dfrac (pi )(2),dfrac (pi )(2)) 内至少有一个根.

步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x) = \sin x + x + 1$，该函数在区间 $[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]$ 上连续。
步骤 2：计算端点值
计算 $f(-\dfrac{\pi}{2})$ 和 $f(\dfrac{\pi}{2})$ 的值。
$f(-\dfrac{\pi}{2}) = \sin(-\dfrac{\pi}{2}) - \dfrac{\pi}{2} + 1 = -1 - \dfrac{\pi}{2} + 1 = -\dfrac{\pi}{2} < 0$。
$f(\dfrac{\pi}{2}) = \sin(\dfrac{\pi}{2}) + \dfrac{\pi}{2} + 1 = 1 + \dfrac{\pi}{2} + 1 = \dfrac{\pi}{2} + 2 > 0$。
步骤 3：应用零点定理
根据零点定理，如果一个连续函数在闭区间 $[a, b]$ 上的端点值异号，那么在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一个点 $\xi$，使得 $f(\xi) = 0$。
由于 $f(-\dfrac{\pi}{2}) < 0$ 且 $f(\dfrac{\pi}{2}) > 0$，根据零点定理，至少存在一点 $\xi \in (-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})$，使得 $f(\xi) = 0$。