题目
[题目]试证下列函数在指定区间内的单调性.-|||-(1) =dfrac (x)(1-x) (-infty ,1) ;-|||-(2) =x+ln x (0,+infty ),
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
对于函数 $y=\dfrac {x}{1-x}$，我们首先求其导数。通过求导，我们可以确定函数的单调性。
步骤 2：分析导数的符号
对于函数 $y=\dfrac {x}{1-x}$，其导数为 $y'=\dfrac {1}{{(x-1)}^{2}}$。由于 $(x-1)^2$ 总是正的（除了在 $x=1$ 时为零，但 $x=1$ 不在考虑的区间内），因此 $y'$ 总是正的。
步骤 3：确定单调性
由于 $y'$ 在区间 $(-\infty ,1)$ 上总是正的，因此函数 $y=\dfrac {x}{1-x}$ 在该区间上单调递增。
步骤 4：求导数
对于函数 $y=x+\ln x$，我们同样求其导数。
步骤 5：分析导数的符号
对于函数 $y=x+\ln x$，其导数为 $y'=1+\dfrac {1}{x}$。由于 $x>0$，因此 $y'$ 总是正的。
步骤 6：确定单调性
由于 $y'$ 在区间 $(0,+\infty )$ 上总是正的，因此函数 $y=x+\ln x$ 在该区间上单调递增。
对于函数 $y=\dfrac {x}{1-x}$，我们首先求其导数。通过求导，我们可以确定函数的单调性。
步骤 2：分析导数的符号
对于函数 $y=\dfrac {x}{1-x}$，其导数为 $y'=\dfrac {1}{{(x-1)}^{2}}$。由于 $(x-1)^2$ 总是正的（除了在 $x=1$ 时为零，但 $x=1$ 不在考虑的区间内），因此 $y'$ 总是正的。
步骤 3：确定单调性
由于 $y'$ 在区间 $(-\infty ,1)$ 上总是正的，因此函数 $y=\dfrac {x}{1-x}$ 在该区间上单调递增。
步骤 4：求导数
对于函数 $y=x+\ln x$，我们同样求其导数。
步骤 5：分析导数的符号
对于函数 $y=x+\ln x$，其导数为 $y'=1+\dfrac {1}{x}$。由于 $x>0$，因此 $y'$ 总是正的。
步骤 6：确定单调性
由于 $y'$ 在区间 $(0,+\infty )$ 上总是正的，因此函数 $y=x+\ln x$ 在该区间上单调递增。