[题目]试证下列函数在指定区间内的单调性.-|||-(1) =dfrac (x)(1-x) (-infty ,1) ;-|||-(2) =x+ln x (0,+infty ),

考查要点：本题主要考查利用导数判断函数单调性的方法。
解题思路：

1. 求导法是判断函数单调性的核心方法。若函数在区间内可导，导数的符号直接决定函数的增减趋势。
2. 关键步骤：
   • 对函数求导，化简导数表达式；
   • 分析导数在指定区间内的符号；
   • 根据导数的正负得出单调性结论。

第（1）题：$y=\dfrac{x}{1-x}$ 在 $(-\infty,1)$ 上的单调性

函数变形

将原函数变形为：
$y = \dfrac{x}{1-x} = -1 - \dfrac{1}{x-1}$
关键点：通过变形简化求导过程，避免复杂的商的导数计算。

求导数

对变形后的函数求导：
$y' = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(-1 - \dfrac{1}{x-1}\right) = 0 + \dfrac{1}{(x-1)^2} = \dfrac{1}{(x-1)^2}$

分析导数符号

在区间 $(-\infty,1)$ 内，$x-1 < 0$，但平方后 $(x-1)^2 > 0$，因此：
$y' = \dfrac{1}{(x-1)^2} > 0$
结论：导数恒正，函数在区间内单调递增。

第（2）题：$y = x + \ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上的单调性

直接求导

对函数求导：
$y' = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x) + \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln x) = 1 + \dfrac{1}{x}$

分析导数符号

在区间 $(0,+\infty)$ 内，$x > 0$，因此 $\dfrac{1}{x} > 0$，进而：
$y' = 1 + \dfrac{1}{x} > 0$
结论：导数恒正，函数在区间内单调递增。