8. (5.0分) 若过点P(2a,a²)可作3条直线与曲线f(x)=x³相切，则a的取值范围为（）A. (0,8)B. ((1)/(8),+∞)C. (-∞,0)∪(0,(1)/(8))D. (-∞,0)∪(8,+∞)

考查要点：本题主要考查导数的几何意义（切线方程）、三次方程根的分布条件，以及利用导数分析函数极值的方法。

解题核心思路：

1. 设定切点：假设切点为$(t, t^3)$，利用导数求出切线方程。
2. 代入点坐标：将点$P(2a, a^2)$代入切线方程，得到关于$t$的三次方程。
3. 分析根的个数：通过分析三次方程的极值点函数值符号，确定方程有三个不同实根的条件，从而求出$a$的取值范围。

破题关键：

• 正确建立三次方程：注意代入点坐标时符号的处理。
• 极值点分析：通过导数找到三次函数的极值点，并判断极值点的函数值符号是否相反，从而确定三次方程有三个实根的条件。

步骤1：设定切点与切线方程

设曲线$f(x)=x^3$上切点为$(t, t^3)$，则切线斜率为$f'(t)=3t^2$。
切线方程为：
$y - t^3 = 3t^2(x - t) \implies y = 3t^2x - 2t^3.$

步骤2：代入点$P(2a, a^2)$

将点$P$代入切线方程，得：
$a^2 = 3t^2 \cdot 2a - 2t^3 \implies 2t^3 - 6a t^2 + a^2 = 0.$

步骤3：分析三次方程根的个数

三次方程$2t^3 - 6a t^2 + a^2 = 0$需有三个不同实根。
求导得：
$g'(t) = 6t^2 - 12a t = 6t(t - 2a),$
临界点为$t=0$和$t=2a$。

步骤4：计算极值点函数值

• 当$t=0$时，$g(0) = a^2$；
• 当$t=2a$时，
  $g(2a) = 2(2a)^3 - 6a(2a)^2 + a^2 = -8a^3 + a^2.$

步骤5：判断极值点符号

三次方程有三个实根的条件是极值点函数值异号：
$g(0) \cdot g(2a) < 0 \implies a^2 \cdot (-8a^3 + a^2) < 0.$
化简得：
$a^4(1 - 8a) < 0 \implies 1 - 8a < 0 \implies a > \frac{1}{8}.$