题目
已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ） A. (sqrt(7))/(2) B. (sqrt(13))/(2) C. sqrt(7) D. sqrt(13)
已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）
- A. $\frac{\sqrt{7}}{2}$
- B. $\frac{\sqrt{13}}{2}$
- C. $\sqrt{7}$
- D. $\sqrt{13}$
题目解答
答案
解：F1，F2为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点，|PF1|=3|PF2|，
设|PF1|=3m，|PF2|=m，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2m=2a，即m=a，
所以|PF1|=3a，|PF2|=a，因为∠F1PF2=60°，|F1F2|=2c，
所以4c2=9a2+a2-2×3a×a×cos60°，整理得4c2=7a2，
所以e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故选：A．
设|PF1|=3m，|PF2|=m，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2m=2a，即m=a，
所以|PF1|=3a，|PF2|=a，因为∠F1PF2=60°，|F1F2|=2c，
所以4c2=9a2+a2-2×3a×a×cos60°，整理得4c2=7a2，
所以e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故选：A．
解析
步骤 1：定义变量
设|PF_1|=3m，|PF_2|=m，其中m为正数。根据双曲线的定义，|PF_1|-|PF_2|=2a，其中a为双曲线的半实轴长。
步骤 2：计算m
根据双曲线的定义，我们有|PF_1|-|PF_2|=2a，即3m-m=2a，解得m=a。
步骤 3：应用余弦定理
在三角形F_1PF_2中，根据余弦定理，有|F_1F_2|^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1||PF_2|cos∠F_1PF_2。将已知条件代入，得(2c)^2=(3a)^2+a^2-2×3a×a×cos60°，其中c为双曲线的半焦距。
步骤 4：计算离心率
化简上式，得4c^2=9a^2+a^2-3a^2，即4c^2=7a^2。因此，离心率e=c/a=$\sqrt{7}/2$。
设|PF_1|=3m，|PF_2|=m，其中m为正数。根据双曲线的定义，|PF_1|-|PF_2|=2a，其中a为双曲线的半实轴长。
步骤 2：计算m
根据双曲线的定义，我们有|PF_1|-|PF_2|=2a，即3m-m=2a，解得m=a。
步骤 3：应用余弦定理
在三角形F_1PF_2中，根据余弦定理，有|F_1F_2|^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1||PF_2|cos∠F_1PF_2。将已知条件代入，得(2c)^2=(3a)^2+a^2-2×3a×a×cos60°，其中c为双曲线的半焦距。
步骤 4：计算离心率
化简上式，得4c^2=9a^2+a^2-3a^2，即4c^2=7a^2。因此，离心率e=c/a=$\sqrt{7}/2$。