题目
已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）A. (sqrt(7))/(2)B. (sqrt(13))/(2)C. sqrt(7)D. sqrt(13)
已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）
A. $\frac{\sqrt{7}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{13}}{2}$
C. $\sqrt{7}$
D. $\sqrt{13}$
题目解答
答案
A. $\frac{\sqrt{7}}{2}$
解析
步骤 1：定义变量
设|PF_1|=3m，|PF_2|=m，其中m为正数。根据双曲线的定义，|PF_1|-|PF_2|=2a，其中a为双曲线的半实轴长。
步骤 2：计算m
根据双曲线的定义，我们有|PF_1|-|PF_2|=2a，即3m-m=2a，解得m=a。
步骤 3：应用余弦定理
在三角形F_1PF_2中，根据余弦定理，有|F_1F_2|^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1||PF_2|cos∠F_1PF_2。将已知条件代入，得(2c)^2=(3a)^2+a^2-2×3a×a×cos60°，其中c为双曲线的半焦距。
步骤 4：计算离心率
化简上式，得4c^2=9a^2+a^2-3a^2，即4c^2=7a^2。因此，离心率e=c/a=$\sqrt{7}/2$。
设|PF_1|=3m，|PF_2|=m，其中m为正数。根据双曲线的定义，|PF_1|-|PF_2|=2a，其中a为双曲线的半实轴长。
步骤 2：计算m
根据双曲线的定义，我们有|PF_1|-|PF_2|=2a，即3m-m=2a，解得m=a。
步骤 3：应用余弦定理
在三角形F_1PF_2中，根据余弦定理，有|F_1F_2|^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1||PF_2|cos∠F_1PF_2。将已知条件代入，得(2c)^2=(3a)^2+a^2-2×3a×a×cos60°，其中c为双曲线的半焦距。
步骤 4：计算离心率
化简上式，得4c^2=9a^2+a^2-3a^2，即4c^2=7a^2。因此，离心率e=c/a=$\sqrt{7}/2$。