[题目]-|||-求函数 (x,y)=(x)^2(2+(y)^2)+yln y 的极值.

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括临界点的求解和二阶导数检验法的应用。

解题核心思路：

1. 求偏导数：分别计算函数对$x$和$y$的一阶偏导数，并解方程组找到临界点。
2. 二阶导数检验：通过计算二阶偏导数，构造Hessian矩阵，判断临界点的性质（极小值、极大值或鞍点）。

破题关键点：

• 一阶偏导数为零：通过$\frac{\partial f}{\partial x}=0$和$\frac{\partial f}{\partial y}=0$联立求解临界点。
• Hessian矩阵的行列式：通过二阶偏导数的组合判断极值的存在性及类型。

1. 求一阶偏导数

• 对$x$求偏导：
  $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x(2 + y^2)$
• 对$y$求偏导：
  $\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^2 y + \ln y + 1$

2. 解方程组求临界点

• 令$\frac{\partial f}{\partial x}=0$：
  $2x(2 + y^2) = 0 \implies x = 0 \quad (\text{因$2 + y^2 > 0$})$
• 代入$x=0$到$\frac{\partial f}{\partial y}=0$：
  $\ln y + 1 = 0 \implies y = e^{-1}$
  临界点为$(0, e^{-1})$。

3. 二阶导数检验

• 计算二阶偏导数：
  $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2(2 + y^2), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 4xy, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2x^2 + \frac{1}{y}$
• 在$(0, e^{-1})$处：
  $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2(2 + e^{-2}), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = e$
• Hessian行列式：
  $D = \left(2(2 + e^{-2})\right)(e) - 0^2 = 2e(2 + e^{-2}) > 0$
  且$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0$，故$(0, e^{-1})$为极小值点。

4. 计算极小值

$f(0, e^{-1}) = 0^2(2 + e^{-2}) + e^{-1} \ln(e^{-1}) = -e^{-1}$