[题目]-|||-求函数 (x,y)=(x)^2(2+(y)^2)+yln y 的极值.

步骤 1：求偏导数
首先，我们需要求出函数 $f(x,y)={x}^{2}(2+{y}^{2})+y\ln y$ 的偏导数。对于 $x$ 的偏导数，我们有：
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x(2+y^2)
$$
对于 $y$ 的偏导数，我们有：
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^2y + \ln y + 1
$$
步骤 2：求驻点
为了找到函数的极值点，我们需要求解偏导数等于零的方程组。即：
$$
\begin{cases}
2x(2+y^2) = 0 \\
2x^2y + \ln y + 1 = 0
\end{cases}
$$
从第一个方程中，我们可以得到 $x=0$ 或 $y^2=-2$。由于 $y^2$ 不能为负数，因此我们只考虑 $x=0$ 的情况。将 $x=0$ 代入第二个方程，得到：
$$
\ln y + 1 = 0
$$
解得 $y = e^{-1}$。因此，我们得到一个驻点 $(0, e^{-1})$。
步骤 3：判断极值
为了判断这个驻点是否为极值点，我们需要计算二阶偏导数，并使用二阶偏导数的判别式。二阶偏导数为：
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2(2+y^2)
$$
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2x^2 + \frac{1}{y}
$$
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 4xy
$$
在驻点 $(0, e^{-1})$ 处，我们有：
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2(2+e^{-2})
$$
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{1}{e^{-1}} = e
$$
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0
$$
二阶偏导数的判别式为：
$$
D = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right)^2
$$
代入上述值，我们得到：
$$
D = 2(2+e^{-2}) \cdot e - 0^2 = 2e(2+e^{-2})
$$
由于 $D > 0$ 且 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0$，因此驻点 $(0, e^{-1})$ 是一个极小值点。