3.若-|||-_(1)(t)= { 0,(t).

步骤 1：定义卷积
卷积 ${f}_{1}(t)*{f}_{2}(t)$ 定义为：
$${f}_{1}(t)*{f}_{2}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} {f}_{1}(\tau) {f}_{2}(t-\tau) d\tau$$
步骤 2：确定积分区间
由于 ${f}_{1}(t)$ 和 ${f}_{2}(t)$ 都是非负区间上的函数，我们需要考虑 ${f}_{2}(t-\tau)$ 的非零区间。${f}_{2}(t-\tau)$ 在 $0 \leq t-\tau \leq \frac{\pi}{2}$ 时非零，即 $\tau \leq t \leq \tau + \frac{\pi}{2}$。因此，积分区间为 $0 \leq \tau \leq t$ 和 $t-\frac{\pi}{2} \leq \tau \leq t$。
步骤 3：计算卷积
根据 ${f}_{1}(t)$ 和 ${f}_{2}(t)$ 的定义，我们分段计算卷积：
- 当 $t < 0$ 时，${f}_{1}(t) = 0$，所以 ${f}_{1}(t)*{f}_{2}(t) = 0$。
- 当 $0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ 时，积分区间为 $0 \leq \tau \leq t$，所以：
$$
{f}_{1}(t)*{f}_{2}(t) = \int_{0}^{t} {e}^{-\tau} \sin(t-\tau) d\tau
$$
- 当 $t > \frac{\pi}{2}$ 时，积分区间为 $t-\frac{\pi}{2} \leq \tau \leq t$，所以：
$$
{f}_{1}(t)*{f}_{2}(t) = \int_{t-\frac{\pi}{2}}^{t} {e}^{-\tau} \sin(t-\tau) d\tau
$$
步骤 4：计算积分
- 当 $0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ 时，积分结果为：
$$
{f}_{1}(t)*{f}_{2}(t) = \frac{1}{2}(\sin t - \cos t + {e}^{-t})
$$
- 当 $t > \frac{\pi}{2}$ 时，积分结果为：
$$
{f}_{1}(t)*{f}_{2}(t) = \frac{1}{2}{e}^{-t}(1 + {e}^{\frac{\pi}{2}})
$$