(20)(本题满分11分)-|||-已知曲线 :y=dfrac (4)(9)(x)^2(xgeqslant 0), 点O(0,0),点A(0,1).设P是L上的动点,S是直线OA与直-|||-线AP及曲线L所围图形的面积,若P运动到点(3,4)时沿x轴正向的速度是4,求此时S关-|||-于时间t的变化率.

考查要点：本题主要考查变限积分求导、面积计算以及相关变化率的应用。
解题思路：

1. 确定面积表达式：通过几何图形分析，将所求面积分解为梯形面积与曲线下的积分之差。
2. 求导处理：对面积表达式关于$x$求导，结合链式法则，将$dS/dt$转化为$dS/dx \cdot dx/dt$。
3. 代入计算：在特定点$x=3$处代入已知条件，计算最终结果。
   关键点：正确建立面积表达式是解题的核心，需注意几何图形的构成关系。

1. 建立面积表达式

设动点$P$的坐标为$(x, \frac{4}{9}x^2)$，则：

• 梯形面积：由直线$OA$（$y$轴）、直线$AP$与$x$轴围成的梯形面积为
  $S_{\text{梯形}} = \frac{1}{2} \times (1 + \frac{4}{9}x^2) \times x.$
• 曲线下的面积：曲线$L$从$0$到$x$的积分面积为
  $S_{\text{曲线}} = \int_0^x \frac{4}{9}t^2 \, dt = \frac{4}{27}x^3.$
• 所求面积：两者之差为
  $S = S_{\text{梯形}} - S_{\text{曲线}} = \frac{2}{27}x^3 + \frac{1}{2}x.$

2. 求导与相关变化率

对$S$关于$x$求导：
$\frac{dS}{dx} = \frac{2}{9}x^2 + \frac{1}{2}.$
根据链式法则，$S$关于时间$t$的变化率为：
$\frac{dS}{dt} = \frac{dS}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}.$
当$P$在$(3,4)$处时，$\frac{dx}{dt} = 4$，代入$x=3$得：
$\frac{dS}{dt} = \left( \frac{2}{9} \cdot 3^2 + \frac{1}{2} \right) \cdot 4 = 10.$