题目
(1)设向量overrightarrow (x)= 0,1,0 ，overrightarrow (x)= 0,1,0 ，则overrightarrow (x)= 0,1,0 _____；(2)函数overrightarrow (x)= 0,1,0 在点overrightarrow (x)= 0,1,0 处沿方向overrightarrow (x)= 0,1,0 的方向导数_____.
(1)设向量
，
，则
_____；
(2)函数
在点
处沿方向
的方向导数_____.
题目解答
答案
(1)利用向量叉乘公式
，故有
；
(2)已知函数，在点处，则有
，
，沿方向，可知方向余弦为
，
，故方向导数为
.
故答案为：(1)
(2)
解析
步骤 1：计算向量叉乘
向量$\overrightarrow {x}=\{ 0,1,0\} $，$\overrightarrow {y}=\{ 2,0,-1\} $，根据向量叉乘公式，有$\overrightarrow {x}\times \overrightarrow {y}=\begin{vmatrix} \overrightarrow {i} & \overrightarrow {j} & \overrightarrow {k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}=-\overrightarrow {i}-2\overrightarrow {k}$。
步骤 2：计算函数在点(1,1)处的偏导数
已知函数$z={x}^{2}+y$，在点(1,1)处，则有$\dfrac {\partial z}{\partial x}|(1,1)=(2x)|(1,1)=2$，$\dfrac {\partial z}{\partial y}|(1,1)=1$。
步骤 3：计算方向导数
沿方向$\overrightarrow {a}=(-1,2)$，可知方向余弦为$\cos \alpha =-\dfrac {1}{\sqrt {{(-1)}^{2}+{2}^{2}}}=-\dfrac {1}{\sqrt {5}}$，$\cos \beta =\dfrac {2}{\sqrt {{(-1)}^{2}+{2}^{2}}}=\dfrac {2}{\sqrt {5}}$，故方向导数为$\dfrac {\partial z}{\partial z}||\cdot \cos \alpha +\dfrac {\partial z}{\partial y}|(1,1)\cdot \cos \theta =2\cdot \dfrac {-1}{\sqrt {5}}+1\cdot \dfrac {2}{\sqrt {5}}=0$。
向量$\overrightarrow {x}=\{ 0,1,0\} $，$\overrightarrow {y}=\{ 2,0,-1\} $，根据向量叉乘公式，有$\overrightarrow {x}\times \overrightarrow {y}=\begin{vmatrix} \overrightarrow {i} & \overrightarrow {j} & \overrightarrow {k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}=-\overrightarrow {i}-2\overrightarrow {k}$。
步骤 2：计算函数在点(1,1)处的偏导数
已知函数$z={x}^{2}+y$，在点(1,1)处，则有$\dfrac {\partial z}{\partial x}|(1,1)=(2x)|(1,1)=2$，$\dfrac {\partial z}{\partial y}|(1,1)=1$。
步骤 3：计算方向导数
沿方向$\overrightarrow {a}=(-1,2)$，可知方向余弦为$\cos \alpha =-\dfrac {1}{\sqrt {{(-1)}^{2}+{2}^{2}}}=-\dfrac {1}{\sqrt {5}}$，$\cos \beta =\dfrac {2}{\sqrt {{(-1)}^{2}+{2}^{2}}}=\dfrac {2}{\sqrt {5}}$，故方向导数为$\dfrac {\partial z}{\partial z}||\cdot \cos \alpha +\dfrac {\partial z}{\partial y}|(1,1)\cdot \cos \theta =2\cdot \dfrac {-1}{\sqrt {5}}+1\cdot \dfrac {2}{\sqrt {5}}=0$。