三个平面x=cy+bz，y=az+cx，z=bx+ay过同一直线的充要条件是（ ）。A. a+b+c+2abc=0B. a+b+c+2abc=1C. a 2 +b 2 +c 2 + 2 abc=0D. a 2 +b 2 +c 2 + 2 abc=1

考查要点：本题主要考查三个平面过同一直线的充要条件，涉及平面方程的法向量关系及行列式的应用。

解题核心思路：三个平面过同一直线，当且仅当它们的法向量线性相关，即由法向量组成的矩阵行列式为零。通过计算该行列式并化简，可得到充要条件。

破题关键点：

1. 确定法向量：将每个平面方程转换为标准形式，提取法向量。
2. 行列式条件：构造法向量矩阵，计算行列式并令其为零，得到方程。
3. 代数化简：展开行列式并整理，得到最终条件。

步骤1：确定法向量

三个平面方程分别为：

1. $x - cy - bz = 0$，法向量为 $\vec{n_1} = (1, -c, -b)$；
2. $-cx + y - az = 0$，法向量为 $\vec{n_2} = (-c, 1, -a)$；
3. $-bx - ay + z = 0$，法向量为 $\vec{n_3} = (-b, -a, 1)$。

步骤2：构造矩阵并计算行列式

将法向量作为行（或列）构成矩阵：
$M = \begin{pmatrix}1 & -c & -b \\-c & 1 & -a \\-b & -a & 1\end{pmatrix}$
计算行列式 $|M|$：
$\begin{aligned}|M| &= 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-a)(-a)) - (-c) \cdot (-c \cdot 1 - (-a)(-b)) + (-b) \cdot (-c \cdot (-a) - 1 \cdot (-b)) \\&= 1 \cdot (1 - a^2) - (-c) \cdot (-c - ab) + (-b) \cdot (ca - b) \\&= 1 - a^2 - c^2 - abc - abc - b^2 \\&= 1 - (a^2 + b^2 + c^2) - 2abc.\end{aligned}$

步骤3：行列式为零的条件

当三个平面有公共直线时，行列式 $|M| = 0$，即：
$1 - (a^2 + b^2 + c^2) - 2abc = 0 \implies a^2 + b^2 + c^2 + 2abc = 1.$