题目
(2) https:/img.zuoyebang.cc/zyb_03cf1154e57acf053492dc5412ee809f.jpg-x+dfrac ({x)^2}({2)^2}+... +((-1))^ndfrac ({x)^n}({n)^2}+... ;
题目解答
答案
记住：收敛区间都是开区间
而
收敛域=收敛区间+收敛的端点
本题的收敛域为【-1,1】
收敛区间为（-1,1）
不矛盾。
而
收敛域=收敛区间+收敛的端点
本题的收敛域为【-1,1】
收敛区间为（-1,1）
不矛盾。
解析
步骤 1：确定级数的收敛半径
级数 $1-x+\dfrac {{x}^{2}}{{2}^{2}}+\cdots +{(-1)}^{n}\dfrac {{x}^{n}}{{n}^{2}}+\cdots $ 可以写成 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{n^2}$。为了确定收敛半径，我们使用比值判别法。设 $a_n = (-1)^n \frac{x^n}{n^2}$，则
$$
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(-1)^{n+1} \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}}{(-1)^n \frac{x^n}{n^2}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^2} \right| = |x|.
$$
级数收敛的条件是 $|x| < 1$，因此收敛半径为 $1$。
步骤 2：确定收敛区间
根据收敛半径，级数的收敛区间为 $(-1, 1)$。
步骤 3：检查端点的收敛性
- 当 $x = 1$ 时，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n^2}$，这是一个交错级数，且 $\frac{1}{n^2}$ 单调递减趋于 $0$，因此级数收敛。
- 当 $x = -1$ 时，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，这是一个正项级数，且 $\frac{1}{n^2}$ 单调递减趋于 $0$，因此级数收敛。
级数 $1-x+\dfrac {{x}^{2}}{{2}^{2}}+\cdots +{(-1)}^{n}\dfrac {{x}^{n}}{{n}^{2}}+\cdots $ 可以写成 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{n^2}$。为了确定收敛半径，我们使用比值判别法。设 $a_n = (-1)^n \frac{x^n}{n^2}$，则
$$
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(-1)^{n+1} \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}}{(-1)^n \frac{x^n}{n^2}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^2} \right| = |x|.
$$
级数收敛的条件是 $|x| < 1$，因此收敛半径为 $1$。
步骤 2：确定收敛区间
根据收敛半径，级数的收敛区间为 $(-1, 1)$。
步骤 3：检查端点的收敛性
- 当 $x = 1$ 时，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n^2}$，这是一个交错级数，且 $\frac{1}{n^2}$ 单调递减趋于 $0$，因此级数收敛。
- 当 $x = -1$ 时，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，这是一个正项级数，且 $\frac{1}{n^2}$ 单调递减趋于 $0$，因此级数收敛。