求指导本题解题过程，谢谢您！11.已知当x→0时, (x)=arctan x-sin ax 与 (x)=bxln sqrt (a+{x)^2} 是等价无穷小,则-|||-(A) =b=1. (B) =2, =dfrac (1)(3).-|||-(C) =1, =dfrac (1)(2). (D) =1, =-dfrac (1)(3),

考查要点：本题主要考查等价无穷小的定义及泰勒展开的应用，需要将两个函数在$x \to 0$时展开到相同阶数，通过比较系数确定参数$a$和$b$的值。

解题核心思路：

1. 等价无穷小条件：当$x \to 0$时，$f(x) \sim g(x)$，即$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，因此两函数的最高次项系数必须相等。
2. 泰勒展开：分别对$f(x) = \arctan x - \sin(ax)$和$g(x) = bx \ln \sqrt{a + x^2}$展开到足够阶数，找到主部项。
3. 比较系数：通过主部项系数相等建立方程，解出$a$和$b$。

破题关键点：

• 确定$a$的值：通过$f(x)$的一次项系数为零，得到$a=1$。
• 确定$b$的值：在$a=1$的基础上，比较$f(x)$和$g(x)$的$x^3$项系数，解出$b = -\frac{1}{3}$。

步骤1：展开$f(x)$

1. $\arctan x$的展开：$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$。
2. $\sin(ax)$的展开：$\sin(ax) = ax - \frac{(ax)^3}{6} + o(x^3)$。
3. 相减得$f(x)$：
   $f(x) = \left( x - \frac{x^3}{3} \right) - \left( ax - \frac{a^3 x^3}{6} \right) + o(x^3) = (1 - a)x + \left( -\frac{1}{3} + \frac{a^3}{6} \right)x^3 + o(x^3).$

步骤2：展开$g(x)$

1. 化简表达式：$g(x) = bx \ln \sqrt{a + x^2} = \frac{bx}{2} \ln(a + x^2)$。
2. 展开$\ln(a + x^2)$（当$a=1$时）：
   $\ln(1 + x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + o(x^4).$
3. 代入得$g(x)$：
   $g(x) = \frac{bx}{2} \left( x^2 + o(x^2) \right) = \frac{b}{2}x^3 + o(x^3).$

步骤3：比较系数

1. 一次项系数为零：由$f(x)$中$(1 - a)x$的系数为零，得$a = 1$。
2. 三次项系数相等：将$a=1$代入$f(x)$的三次项系数$-\frac{1}{6}$，与$g(x)$的三次项系数$\frac{b}{2}$相等，得：
   $\frac{b}{2} = -\frac{1}{6} \implies b = -\frac{1}{3}.$