题目
2、|求向量组 _(1)=((1,2,2,4))^T , _(2)=((1,1,1,2))^T, _(3)=((2,2,3,3))^T _(4)=(2,2,4,2-|||-秩、极大无关组,并将其余向量用极大无关组表示.
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造矩阵
构造一个矩阵，其列向量为给定的向量组 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$, ${a}_{4}$。矩阵如下：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 3 & 4 \\
4 & 2 & 3 & 2
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化简为行阶梯形矩阵。具体步骤如下：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 3 & 4 \\
4 & 2 & 3 & 2
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 \\
0 & -1 & -2 & -2 \\
0 & -1 & -1 & 0 \\
0 & -2 & -5 & -6
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
步骤 3：确定秩和极大无关组
从行阶梯形矩阵可以看出，矩阵的秩为3，即极大无关组包含3个向量。极大无关组为 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$。
步骤 4：表示其余向量
根据行阶梯形矩阵，可以表示 ${a}_{4}$ 为极大无关组的线性组合。从行阶梯形矩阵中，可以得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
因此，${a}_{4} = -2{a}_{1} - 2{a}_{2} + 2{a}_{3}$。
构造一个矩阵，其列向量为给定的向量组 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$, ${a}_{4}$。矩阵如下：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 3 & 4 \\
4 & 2 & 3 & 2
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化简为行阶梯形矩阵。具体步骤如下：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 3 & 4 \\
4 & 2 & 3 & 2
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 \\
0 & -1 & -2 & -2 \\
0 & -1 & -1 & 0 \\
0 & -2 & -5 & -6
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
步骤 3：确定秩和极大无关组
从行阶梯形矩阵可以看出，矩阵的秩为3，即极大无关组包含3个向量。极大无关组为 ${a}_{1}$, ${a}_{2}$, ${a}_{3}$。
步骤 4：表示其余向量
根据行阶梯形矩阵，可以表示 ${a}_{4}$ 为极大无关组的线性组合。从行阶梯形矩阵中，可以得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
因此，${a}_{4} = -2{a}_{1} - 2{a}_{2} + 2{a}_{3}$。