2.1 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应。(1)y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t),y(0_)=1,y'(0_)=-1(2)y''(t)+2y'(t)+5y(t)=f(t),y(0_)=2,y'(0_)=-2(3)y''(t)+2y'(t)+y(t)=f(t),y(0_)=1,y'(0_)=1(4)y''(t)+y(t)=f(t),y(0_)=2,y'(0_)=0

零输入响应是系统仅由初始状态引起的响应，对应齐次微分方程的解。解题核心步骤为：

1. 求特征方程：将微分方程转换为代数方程；
2. 求特征根：根据根的性质确定解的形式；
3. 代入初始条件：确定齐次解中的待定系数。

关键点：

• 特征根类型（实根、复根、重根）决定解的结构；
• 初始条件需代入齐次解及其导数求解系数；
• 单位阶跃函数$u(t)$表示响应仅在$t \geq 0$有效。

第（1）题

求特征方程

微分方程对应的齐次方程为：
$y'' + 5y' + 6y = 0$
特征方程：
$\lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0$
解得特征根：
$\lambda = -2, -3$

齐次解形式

$y(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-3t}$

代入初始条件

1. $y(0_-) = 1$：
   $C_1 + C_2 = 1$
2. $y'(0_-) = -1$：
   $-2C_1 - 3C_2 = -1$
   解得：
   $C_1 = 2, \quad C_2 = -1$

第（2）题

求特征方程

齐次方程：
$y'' + 2y' + 5y = 0$
特征方程：
$\lambda^2 + 2\lambda + 5 = 0$
解得特征根：
$\lambda = -1 \pm 2j$

齐次解形式

$y(t) = e^{-t}(C_1 \cos 2t + C_2 \sin 2t)$

代入初始条件

1. $y(0_-) = 2$：
   $C_1 = 2$
2. $y'(0_-) = -2$：
   $-C_1 \cos 0 - 2C_1 \sin 0 + 2C_2 \cos 0 - 2C_2 \sin 0 = -2$
   化简得：
   $-2 + 2C_2 = -2 \quad \Rightarrow \quad C_2 = 0$

第（3）题

求特征方程

齐次方程：
$y'' + 2y' + y = 0$
特征方程：
$\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0$
解得特征根：
$\lambda = -1 \, (\text{二重根})$

齐次解形式

$y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-t}$

代入初始条件

1. $y(0_-) = 1$：
   $C_1 = 1$
2. $y'(0_-) = 1$：
   $-C_1 - C_2 + C_2 = 1 \quad \Rightarrow \quad -1 + C_2 = 1 \quad \Rightarrow \quad C_2 = 2$

第（4）题

求特征方程

齐次方程：
$y'' + y = 0$
特征方程：
$\lambda^2 + 1 = 0$
解得特征根：
$\lambda = \pm j$

齐次解形式

$y(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t$

代入初始条件

1. $y(0_-) = 2$：
   $C_1 = 2$
2. $y'(0_-) = 0$：
   $-C_1 \sin 0 + C_2 \cos 0 = 0 \quad \Rightarrow \quad C_2 = 0$