根据数列极限的定义证明：lim _(narrow infty )dfrac (2n+1)(3n+1)=dfrac (2)(3)

考查要点：本题主要考查利用数列极限的定义进行证明的能力，需要掌握极限定义的逻辑结构，并能够通过代数变形和不等式放缩找到合适的自然数N。

解题核心思路：

1. 计算差值：将数列与极限值相减，通分化简得到绝对值表达式。
2. 放缩处理：通过分母放大（如将$3n+1$视为$3n$）简化不等式，找到关于$n$的条件。
3. 确定N：根据放缩后的不等式，解出$N$的表达式，确保当$n > N$时不等式成立。

破题关键点：

• 正确化简差值是基础，需注意通分过程的准确性。
• 合理放缩是关键，需保证放缩后的不等式方向正确且易于求解。

步骤1：计算差值
计算$\left|\dfrac{2n+1}{3n+1} - \dfrac{2}{3}\right|$：
$\begin{aligned}\left|\dfrac{2n+1}{3n+1} - \dfrac{2}{3}\right| &= \left|\dfrac{3(2n+1) - 2(3n+1)}{3(3n+1)}\right| \\&= \left|\dfrac{6n + 3 - 6n - 2}{3(3n+1)}\right| \\&= \left|\dfrac{1}{3(3n+1)}\right| = \dfrac{1}{3(3n+1)}.\end{aligned}$

步骤2：放缩处理
由于$3n+1 > 3n$（当$n > 0$时），可得：
$\dfrac{1}{3(3n+1)} < \dfrac{1}{3 \cdot 3n} = \dfrac{1}{9n}.$

步骤3：解不等式
要使$\dfrac{1}{9n} < \varepsilon$，即：
$n > \dfrac{1}{9\varepsilon}.$

步骤4：确定N
取自然数$N$满足：
$N = \left[\dfrac{1}{9\varepsilon}\right] + 1,$
其中$[x]$表示不超过$x$的最大整数。当$n > N$时，必有$n > \dfrac{1}{9\varepsilon}$，从而$\dfrac{1}{9n} < \varepsilon$，原式成立。