题目
根据数列极限的定义证明：lim _(narrow infty )dfrac (2n+1)(3n+1)=dfrac (2)(3)
根据数列极限的定义证明：
题目解答
答案
根据极限定义，
因为
,任取
,要使
,只要使
,即
即可。
取N=[
],当n>N时，就有,
即：
。
解析
步骤 1：确定数列极限的定义
数列极限的定义是：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|\dfrac{2n+1}{3n+1}-\dfrac{2}{3}|<\varepsilon$。
步骤 2：计算数列与极限值的差
计算数列$\dfrac{2n+1}{3n+1}$与极限值$\dfrac{2}{3}$的差：
$|\dfrac{2n+1}{3n+1}-\dfrac{2}{3}|=|\dfrac{3(2n+1)-2(3n+1)}{3(3n+1)}|=|\dfrac{6n+3-6n-2}{9n+3}|=|\dfrac{1}{9n+3}|$。
步骤 3：找到满足条件的$N$
要使$|\dfrac{1}{9n+3}|<\varepsilon$，即$\dfrac{1}{9n+3}<\varepsilon$，解得$n>\dfrac{1}{9\varepsilon}-\dfrac{1}{3}$。因此，取$N=[\dfrac{1}{9\varepsilon}-\dfrac{1}{3}]$，当$n>N$时，有$|\dfrac{2n+1}{3n+1}-\dfrac{2}{3}|<\varepsilon$。
数列极限的定义是：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|\dfrac{2n+1}{3n+1}-\dfrac{2}{3}|<\varepsilon$。
步骤 2：计算数列与极限值的差
计算数列$\dfrac{2n+1}{3n+1}$与极限值$\dfrac{2}{3}$的差：
$|\dfrac{2n+1}{3n+1}-\dfrac{2}{3}|=|\dfrac{3(2n+1)-2(3n+1)}{3(3n+1)}|=|\dfrac{6n+3-6n-2}{9n+3}|=|\dfrac{1}{9n+3}|$。
步骤 3：找到满足条件的$N$
要使$|\dfrac{1}{9n+3}|<\varepsilon$，即$\dfrac{1}{9n+3}<\varepsilon$，解得$n>\dfrac{1}{9\varepsilon}-\dfrac{1}{3}$。因此，取$N=[\dfrac{1}{9\varepsilon}-\dfrac{1}{3}]$，当$n>N$时，有$|\dfrac{2n+1}{3n+1}-\dfrac{2}{3}|<\varepsilon$。