题目
15.【判断题】(1分)设随机变量X具有数学期望EX和方差DX，则对任意的ε>0，都有P |X-EX|<varepsilon <1-(DX)/(varepsilon ^2)成立.（）bigcirc对bigcirc错
15.【判断题】(1分)
设随机变量X具有数学期望EX和方差DX，则对任意的ε>0，都有$P\left \{ |X-EX|<\varepsilon \right \} <1-\frac{DX}{\varepsilon ^{2}}$成立.（）
$\bigcirc$对
$\bigcirc$错
题目解答
答案
根据切比雪夫不等式，对于任意随机变量 $X$ 和正数 $\varepsilon$，有：
\[ P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2} \]
取补集得：
\[ P(|X - E(X)| < \varepsilon) = 1 - P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \geq 1 - \frac{D(X)}{\varepsilon^2} \]
题目中给出的不等式为：
\[ P(|X - E(X)| < \varepsilon) < 1 - \frac{D(X)}{\varepsilon^2} \]
与切比雪夫不等式结果相反，故错误。
\[
\boxed{\text{错}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查对切比雪夫不等式的理解和应用，需要明确不等式的形式及其推导结果。
解题核心思路：
- 回忆切比雪夫不等式的标准形式：
$P(|X - EX| \geq \varepsilon) \leq \frac{DX}{\varepsilon^2}$ - 将题目中的概率表达式转换为切比雪夫不等式的形式，通过补集关系推导出正确结论。
- 对比题目中的不等式方向与推导结果，判断其正确性。
破题关键点：
- 切比雪夫不等式的方向：原不等式描述的是“大于等于”的概率上限，而题目中错误地将方向反转。
- 补集转换：正确推导应得到 $P(|X - EX| < \varepsilon) \geq 1 - \frac{DX}{\varepsilon^2}$，与题目矛盾。
切比雪夫不等式指出，对任意随机变量 $X$ 和正数 $\varepsilon$，有：
$P(|X - EX| \geq \varepsilon) \leq \frac{DX}{\varepsilon^2}$
题目中的概率 $P(|X - EX| < \varepsilon)$ 可通过补集关系表示为：
$P(|X - EX| < \varepsilon) = 1 - P(|X - EX| \geq \varepsilon)$
根据切比雪夫不等式，$P(|X - EX| \geq \varepsilon) \leq \frac{DX}{\varepsilon^2}$，因此：
$P(|X - EX| < \varepsilon) \geq 1 - \frac{DX}{\varepsilon^2}$
题目中给出的结论是：
$P(|X - EX| < \varepsilon) < 1 - \frac{DX}{\varepsilon^2}$
这与推导结果 方向相反，因此原命题错误。