4.iintlimits_(D)xydsigma 其中区域D是由抛物线y=x^2-1及直线y=1-x所围成的区域；

1. **确定积分区域**： 抛物线 $y = x^2 - 1$ 与直线 $y = 1 - x$ 的交点为 $(-2, 3)$ 和 $(1, 0)$。 区域 $D$ 为： \[ -2 \leq x \leq 1, \quad x^2 - 1 \leq y \leq 1 - x \] 2. **设置二重积分**： \[ \iint\limits_{D} xy \, d\sigma = \int_{-2}^{1} \int_{x^2 - 1}^{1 - x} xy \, dy \, dx \] 3. **计算内积分**： \[ \int_{x^2 - 1}^{1 - x} xy \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{x^2 - 1}^{1 - x} = \frac{x}{2} \left[ (1 - x)^2 - (x^2 - 1)^2 \right] = \frac{-x^5 + 3x^3 - 2x^2}{2} \] 4. **计算外积分**： \[ \int_{-2}^{1} \frac{-x^5 + 3x^3 - 2x^2}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{-x^6}{6} + \frac{3x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} \right]_{-2}^{1} = -\frac{27}{8} \] **答案**： \[ \boxed{-\frac{27}{8}} \]