题目
3.2 计算积分 (int )_(c)dfrac (overline {z)}(|z|)dz 的值,其中C为(1) |z|=2 ;(2) |z|=4. .
题目解答
答案
解析
步骤 1：参数化曲线
对于圆 $|z|=2$，我们可以参数化为 $z=2e^{i\theta}$，其中 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。对于圆 $|z|=4$，我们可以参数化为 $z=4e^{i\theta}$，其中 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
步骤 2：计算积分
对于 $|z|=2$，我们有 $z=2e^{i\theta}$，则 $\overline{z}=2e^{-i\theta}$，$|z|=2$，$dz=2ie^{i\theta}d\theta$。因此，积分变为
$$
\int_{0}^{2\pi} \frac{2e^{-i\theta}}{2} \cdot 2ie^{i\theta} d\theta = \int_{0}^{2\pi} 2i d\theta = 4\pi i.
$$
对于 $|z|=4$，我们有 $z=4e^{i\theta}$，则 $\overline{z}=4e^{-i\theta}$，$|z|=4$，$dz=4ie^{i\theta}d\theta$。因此，积分变为
$$
\int_{0}^{2\pi} \frac{4e^{-i\theta}}{4} \cdot 4ie^{i\theta} d\theta = \int_{0}^{2\pi} 4i d\theta = 8\pi i.
$$
对于圆 $|z|=2$，我们可以参数化为 $z=2e^{i\theta}$，其中 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。对于圆 $|z|=4$，我们可以参数化为 $z=4e^{i\theta}$，其中 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
步骤 2：计算积分
对于 $|z|=2$，我们有 $z=2e^{i\theta}$，则 $\overline{z}=2e^{-i\theta}$，$|z|=2$，$dz=2ie^{i\theta}d\theta$。因此，积分变为
$$
\int_{0}^{2\pi} \frac{2e^{-i\theta}}{2} \cdot 2ie^{i\theta} d\theta = \int_{0}^{2\pi} 2i d\theta = 4\pi i.
$$
对于 $|z|=4$，我们有 $z=4e^{i\theta}$，则 $\overline{z}=4e^{-i\theta}$，$|z|=4$，$dz=4ie^{i\theta}d\theta$。因此，积分变为
$$
\int_{0}^{2\pi} \frac{4e^{-i\theta}}{4} \cdot 4ie^{i\theta} d\theta = \int_{0}^{2\pi} 4i d\theta = 8\pi i.
$$