利用极限存在准则证明数列. sqrt (2), sqrt (2+sqrt {2)} sqrt (2+sqrt {2+sqrt {2)}} 的极限存在,并求出该极限.

考查要点：本题主要考查利用单调有界定理证明数列极限存在，并通过递推关系求解极限值。

解题核心思路：

1. 单调性：通过数学归纳法证明数列单调递增。
2. 有界性：通过数学归纳法证明数列有上界（如上界为2）。
3. 极限求解：假设极限存在，利用递推关系建立方程求解，排除不符合实际的解。

破题关键点：

• 归纳法的应用：分别对单调性和有界性进行归纳证明。
• 方程求解：根据递推关系建立方程时，注意排除不符合数列性质的解（如负数解）。

证明数列单调递增

数学归纳法：

1. 基础情形：当$n=1$时，$\sqrt{2} < \sqrt{2+\sqrt{2}}$显然成立。
2. 归纳假设：假设当$n=k$时，第$k$项$a_k = \sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}$（共$k$个根号）满足$a_k > a_{k-1}$。
3. 归纳递推：第$k+1$项为$a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k}$。由归纳假设$a_k > a_{k-1}$，可得$2 + a_k > 2 + a_{k-1}$，因此$a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k} > \sqrt{2 + a_{k-1}} = a_k$。
4. 结论：数列$\{a_n\}$单调递增。

证明数列有上界

数学归纳法：

1. 基础情形：当$n=1$时，$\sqrt{2} < 2$显然成立。
2. 归纳假设：假设当$n=k$时，$a_k < 2$。
3. 归纳递推：第$k+1$项为$a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k}$。由归纳假设$a_k < 2$，可得$2 + a_k < 4$，因此$a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k} < \sqrt{4} = 2$。
4. 结论：数列$\{a_n\}$有上界$2$。

求极限值

1. 设极限为$L$：由单调有界定理，极限$L$存在。
2. 建立方程：根据递推关系$a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$，当$n \to \infty$时，有$L = \sqrt{2 + L}$。
3. 解方程：
   • 平方得$L^2 = 2 + L$，整理为$L^2 - L - 2 = 0$。
   • 解得$L = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$，即$L = 2$或$L = -1$。
4. 排除负解：数列所有项均为正数，故$L = 2$。