单选(4分)-|||-已知质数 (x,y)=|x-y|g(x,y), 其中g(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义,则f(x,y )在点(0,0)-|||-处偏导数存在的充分条件是[ ]-|||-A. g(0,0)=0-|||-B. limg (x,y)存在且 g(0,0)=0-|||-C.g(x,y)在点(0,0)处连续,且 (0,0)=0,-|||-D.limg (x,y)存在

步骤 1：偏导数定义
偏导数定义为函数在某一点处沿某一个变量方向的变化率。对于函数f(x,y)在点(0,0)处的偏导数，我们需要分别计算沿x和y方向的偏导数。

步骤 2：计算沿x方向的偏导数
沿x方向的偏导数定义为：
\[ f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0+\Delta x,0) - f(0,0)}{\Delta x} \]
代入f(x,y)的表达式，得到：
\[ f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x|g(\Delta x,0) - 0}{\Delta x} \]
\[ f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x|g(\Delta x,0)}{\Delta x} \]
\[ f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} g(\Delta x,0) \]
当\(\Delta x > 0\)时，\(\frac{|\Delta x|}{\Delta x} = 1\)，当\(\Delta x < 0\)时，\(\frac{|\Delta x|}{\Delta x} = -1\)。因此，要使偏导数存在，需要：
\[ \lim_{\Delta x \to 0^+} g(\Delta x,0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} g(\Delta x,0) \]
即g(0,0) = 0。

步骤 3：计算沿y方向的偏导数
沿y方向的偏导数定义为：
\[ f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0,0+\Delta y) - f(0,0)}{\Delta y} \]
代入f(x,y)的表达式，得到：
\[ f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{|-\Delta y|g(0,\Delta y) - 0}{\Delta y} \]
\[ f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{|\Delta y|g(0,\Delta y)}{\Delta y} \]
\[ f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{|\Delta y|}{\Delta y} g(0,\Delta y) \]
当\(\Delta y > 0\)时，\(\frac{|\Delta y|}{\Delta y} = 1\)，当\(\Delta y < 0\)时，\(\frac{|\Delta y|}{\Delta y} = -1\)。因此，要使偏导数存在，需要：
\[ \lim_{\Delta y \to 0^+} g(0,\Delta y) = \lim_{\Delta y \to 0^-} g(0,\Delta y) \]
即g(0,0) = 0。