题目
方程dy/dx=y^2dy/dx=y^2的通解是 A y=-1x+Cy=-x+C1 B y=Cexy=Cex C y=Cxy=Cx D y=lnx+Cy=lnx+C
方程$dy/dx=y^2dy/dx=y^2$的通解是
A $y=-1x+Cy=-x+C1$
B $y=Cexy=Cex$
C $y=Cxy=Cx$
D $y=\lnx+Cy=\lnx+C$
题目解答
答案
将方程分离变量得：
\[
\frac{1}{y^2} \, dy = dx
\]
两边积分：
\[
-\frac{1}{y} = x + C
\]
解得：
\[
y = -\frac{1}{x + C}
\]
选项中与该形式最接近的是 A，但需注意选项 A 的形式有误，应为笔误。
**答案：**
\[
\boxed{A}
\]
解析
步骤 1：分离变量
给定方程为 $dy/dx = y^2$，我们首先将变量分离，即把含 $y$ 的项移到方程的一边，含 $x$ 的项移到另一边。分离变量后得到： \[ \frac{1}{y^2} \, dy = dx \]
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边分别积分。左边对 $y$ 积分，右边对 $x$ 积分。 \[ \int \frac{1}{y^2} \, dy = \int dx \] 积分后得到： \[ -\frac{1}{y} = x + C \] 其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：解出 $y$
从上一步得到的方程中解出 $y$。 \[ y = -\frac{1}{x + C} \] 这是方程的通解形式。
给定方程为 $dy/dx = y^2$，我们首先将变量分离，即把含 $y$ 的项移到方程的一边，含 $x$ 的项移到另一边。分离变量后得到： \[ \frac{1}{y^2} \, dy = dx \]
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边分别积分。左边对 $y$ 积分，右边对 $x$ 积分。 \[ \int \frac{1}{y^2} \, dy = \int dx \] 积分后得到： \[ -\frac{1}{y} = x + C \] 其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：解出 $y$
从上一步得到的方程中解出 $y$。 \[ y = -\frac{1}{x + C} \] 这是方程的通解形式。