题目
【例3.7】(2025，数三)设A=}1&-1&3&0&-1-1&0&-2&-a&-11&1&a&2&3的秩为2.(I)求a的值.(II)求A的列向量组的一个极大线性无关组α，β，并求矩阵H，使得A=GH，其中G=}a&beta
【例3.7】(2025，数三)设$A=\begin{pmatrix}1&-1&3&0&-1\\-1&0&-2&-a&-1\\1&1&a&2&3\end{pmatrix}$的秩为2.
(I)求a的值.
(II)求A的列向量组的一个极大线性无关组α，β，并求矩阵H，使得A=GH，其中$G=\begin{pmatrix}a&\beta\end{pmatrix}$
题目解答
答案
**答案：**
(I) 对矩阵 $ A $ 进行行初等变换，化简后得：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & a & 1 \\
0 & 1 & -1 & a & 2 \\
0 & 0 & a-1 & 2-2a & 0
\end{pmatrix}
\]
由秩为2，第三行全为零，解得 $ a = 1 $。
(II) 代入 $ a = 1 $，化简得：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
极大线性无关组为第一列和第二列，即：
\[
\alpha = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
矩阵 $ H $ 满足 $ A = GH $，其中 $ G = (\alpha, \beta) $，为：
\[
H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{(I) } a = 1 \\
\text{(II) } \alpha = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \beta = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：求解矩阵A的秩为2时的a值
对矩阵 $ A $ 进行行初等变换，化简后得：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & a & 1 \\ 0 & 1 & -1 & a & 2 \\ 0 & 0 & a-1 & 2-2a & 0 \end{pmatrix} \]
由秩为2，第三行全为零，解得 $ a = 1 $。
步骤 2：求解极大线性无关组α，β
代入 $ a = 1 $，化简得：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
极大线性无关组为第一列和第二列，即：
\[ \alpha = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
步骤 3：求解矩阵H
矩阵 $ H $ 满足 $ A = GH $，其中 $ G = (\alpha, \beta) $，为：
\[ H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]
对矩阵 $ A $ 进行行初等变换，化简后得：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & a & 1 \\ 0 & 1 & -1 & a & 2 \\ 0 & 0 & a-1 & 2-2a & 0 \end{pmatrix} \]
由秩为2，第三行全为零，解得 $ a = 1 $。
步骤 2：求解极大线性无关组α，β
代入 $ a = 1 $，化简得：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
极大线性无关组为第一列和第二列，即：
\[ \alpha = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
步骤 3：求解矩阵H
矩阵 $ H $ 满足 $ A = GH $，其中 $ G = (\alpha, \beta) $，为：
\[ H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]