1.求下列定积分.-|||-(1) (int )_(1)^4dfrac (1)(x+sqrt {x)}dx

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是通过变量代换法简化被积函数的能力。

解题核心思路：
观察到被积函数分母为$x + \sqrt{x}$，可通过代换$t = \sqrt{x}$将根号消去，转化为有理函数积分。关键在于正确处理变量替换后的积分上下限及微分$dx$的转换。

破题关键点：

1. 代换选择：令$t = \sqrt{x}$，将$x$表示为$t^2$，简化分母结构。
2. 微分转换：由$dx = 2t \, dt$，将原积分中的$dx$替换为关于$t$的表达式。
3. 积分化简：通过约分将被积函数转化为简单分式，便于积分。

步骤1：变量代换
令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，$dx = 2t \, dt$。
当$x = 1$时，$t = 1$；当$x = 4$时，$t = 2$。
原积分变为：
$\int_{1}^{2} \frac{1}{t^2 + t} \cdot 2t \, dt$

步骤2：化简被积函数
分母$t^2 + t = t(t + 1)$，分子为$2t$，约分后得：
$\int_{1}^{2} \frac{2t}{t(t + 1)} \, dt = \int_{1}^{2} \frac{2}{t + 1} \, dt$

步骤3：积分计算
积分$\int \frac{2}{t + 1} \, dt$的原函数为$2 \ln|t + 1|$，因此：
$\left. 2 \ln(t + 1) \right|_{1}^{2} = 2 \ln 3 - 2 \ln 2 = 2 (\ln 3 - \ln 2)$