题目

计算下列对弧长的曲线积分: (1)(int )_(I)^int (({x)^2+(y)^2)}^nds, 其中L为圆周x=acos t , y=asin t (0≤t≤2π); (2)(int )_(I)^int (({x)^2+(y)^2)}^nds, 其中L为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段; (3)(int )_(I)^int (({x)^2+(y)^2)}^nds, 其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界; (4)(int )_(I)^int (({x)^2+(y)^2)}^nds, 其中L为圆周x2+y2=a2, 直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界; (5)(int )_(I)^int (({x)^2+(y)^2)}^nds, 其中Γ为曲线x=etcos t , y=etsin t , z=et上相应于t从0变到2的这段弧; (6)(int )_(I)^int (({x)^2+(y)^2)}^nds, 其中Γ为折线ABCD, 这里A、B、C、D依次为点(0, 0, 0)、 (0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2); (7)(int )_(I)^int (({x)^2+(y)^2)}^nds, 其中L为摆线的一拱x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)(0≤t≤2π); (8)(int )_(I)^int (({x)^2+(y)^2)}^nds, 其中L为曲线x=a(cos t+t sin t), y=a(sin t-t cos t)(0≤t≤2π).

计算下列对弧长的曲线积分:

    (1), 其中L为圆周x=acos t , y=asin t (0≤t≤2π);

    (2), 其中L为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;

    (3), 其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界;

    (4), 其中L为圆周x2+y2=a2, 直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;

    (5), 其中Γ为曲线x=etcos t , y=etsin t , z=et上相应于t从0变到2的这段弧;

    (6), 其中Γ为折线ABCD, 这里A、B、C、D依次为点(0, 0, 0)、

(0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2);

    (7), 其中L为摆线的一拱x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)(0≤t≤2π);

    (8), 其中L为曲线x=a(cos t+t sin t), y=a(sin t-t cos t)(0≤t≤2π).

题目解答

答案

解(1)

       =

       .

    (2) L的方程为y=1-x (0≤x≤1);

       .

    (3) L1: y=x2(0≤x≤1), L2: y=x(0≤x≤1) .

      

      

       .

    (4) L=L1+L2+L3, 其中

       L1: x=x, y=0(0≤x≤a),

       L2: x=a cos t, y=a sin t ,

       L3: x=x, y=x ,

因而   ,

      

        .

    (5)

         ,

     

                   .

    (6) Γ=AB+BC+CD, 其中

       AB: x=0, y=0, z=t (0≤t≤1),

       BC: x=t, y=0, z=2(0≤t≤3),

       CD: x=1, y=t, z=2(0≤t≤3),

故    

       .

    (7)

       .

    (8)

      

       .