2.设二维随机变量(X,Y)概率密度为 f(x,y)= ) 4.8y(2-x),0leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant x, 0, .-|||-(1)求边缘概率密度fx(x),fr(y).-|||-(2)X与Y是否独立?试说明理由.

步骤 1：求边缘概率密度fx(x)
边缘概率密度fx(x)是通过将联合概率密度函数f(x,y)对y进行积分得到的。对于给定的x，y的范围是0到x，因此：
${f}_{x}(x)={\int }_{0}^{x}4.8y(2-x)dy$
$=4.8(2-x){\int }_{0}^{x}ydy$
$=4.8(2-x)\frac{{x}^{2}}{2}$
$=2.4{x}^{2}(2-x)$
步骤 2：求边缘概率密度fr(y)
边缘概率密度fr(y)是通过将联合概率密度函数f(x,y)对x进行积分得到的。对于给定的y，x的范围是y到1，因此：
${f}_{Y}(y)={\int }_{y}^{1}4.8y(2-x)dx$
$=4.8y{\int }_{y}^{1}(2-x)dx$
$=4.8y\left[2x-\frac{{x}^{2}}{2}\right]_{y}^{1}$
$=4.8y\left(2-\frac{1}{2}-2y+\frac{{y}^{2}}{2}\right)$
$=2.4y(3-4y+{y}^{2})$
步骤 3：判断X与Y是否独立
两个随机变量X和Y独立的充分必要条件是它们的联合概率密度函数等于它们边缘概率密度函数的乘积，即f(x,y)=fx(x)fr(y)。根据上面的计算结果，我们有：
$f(x,y)=4.8y(2-x)$
${f}_{x}(x){f}_{Y}(y)=2.4{x}^{2}(2-x)2.4y(3-4y+{y}^{2})$
显然，f(x,y)不等于${f}_{x}(x){f}_{Y}(y)$，因此X与Y不独立。