18.设三阶方阵A的列分块阵为 =((a)_(1),(a)_(2),(a)_(3)) |A|=2 =((a)_(1)+2(a)_(2)+3(a)_(3), (a)_(1)+2(a)_(2)+-|||-(a)_(3),(a)_(1)-(a)_(2)+2(a)_(3)),-|||-(1)求三阶方阵P,使得 =AP;-|||-(2)计算|B|.

考查要点：本题主要考查分块矩阵的乘法及行列式的性质。
解题思路：

1. 分块矩阵乘法：理解矩阵乘法中列分块的组合方式，即矩阵$B$的每一列是$A$的列向量的线性组合，组合系数对应矩阵$P$的列。
2. 行列式性质：利用$|B| = |A| \cdot |P|$，结合已知$|A|=2$，只需计算$P$的行列式即可。

第（1）题

关键思路：根据分块矩阵乘法的规则，$B$的第$i$列对应$A$与$P$的第$i$列相乘的结果。因此，$P$的每一列对应$B$中各列的系数。

1. 分析$B$的列向量：
   • 第1列：$\alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3$，对应$P$的第1列为$\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$。
   • 第2列：$2\alpha_1 + 2\alpha_2 + 5\alpha_3$，对应$P$的第2列为$\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 5\end{pmatrix}$。
   • 第3列：$\alpha_1 - \alpha_2 + 2\alpha_3$，对应$P$的第3列为$\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$。
2. 构造矩阵$P$：
   将上述列向量按顺序排列，得到：
   $P = \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 3 & 5 & 2\end{pmatrix}.$

第（2）题

关键公式：$|B| = |A| \cdot |P|$，已知$|A|=2$，只需计算$|P|$。

1. 计算$|P|$：
   $|P| = \begin{vmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 3 & 5 & 2\end{vmatrix}.$
   按第一行展开：
   $\begin{aligned} |P| &= 1 \cdot \begin{vmatrix}2 & -1 \\ 5 & 2\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}2 & -1 \\ 3 & 2\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}2 & 2 \\ 3 & 5\end{vmatrix} \\ &= 1 \cdot (2 \cdot 2 - (-1) \cdot 5) - 2 \cdot (2 \cdot 2 - (-1) \cdot 3) + 1 \cdot (2 \cdot 5 - 2 \cdot 3) \\ &= 1 \cdot 9 - 2 \cdot 7 + 1 \cdot 4 \\ &= 9 - 14 + 4 = -1. \end{aligned}$
2. 计算$|B|$：
   $|B| = |A| \cdot |P| = 2 \cdot (-1) = -2.$