题目
(1)已知函数 (x)=(int )_(0)^x(e)^cos xdt g(x)=(int )_(0)^sin x(e)^tdt ,则 ()-|||-( )-|||-(A) f(x)是奇函数,g(x)是偶函数-|||-(B) f(x)是偶函数,g(x)是奇函数-|||-(C) f(x)与g (x)均为奇函数-|||-(D) f(x)与g(x)均为周期函数
题目解答
答案
B. f(x)是偶函数,g(x)是奇函数
解析
步骤 1：确定函数f(x)的奇偶性
函数$f(x)={\int }_{0}^{x}{e}^{\cos t}dt$，我们首先计算$f(-x)$，以确定其奇偶性。
$f(-x)={\int }_{0}^{-x}{e}^{\cos t}dt$，通过变量替换$u=-t$，我们得到$f(-x)={\int }_{0}^{x}{e}^{\cos (-u)}du={\int }_{0}^{x}{e}^{\cos u}du=f(x)$，因此$f(x)$是偶函数。
步骤 2：确定函数g(x)的奇偶性
函数$g(x)={\int }_{0}^{\sin x}{e}^{t}dt$，我们同样计算$g(-x)$，以确定其奇偶性。
$g(-x)={\int }_{0}^{\sin (-x)}{e}^{t}dt={\int }_{0}^{-\sin x}{e}^{t}dt$，通过变量替换$u=-t$，我们得到$g(-x)=-{\int }_{0}^{\sin x}{e}^{-u}du=-g(x)$，因此$g(x)$是奇函数。
函数$f(x)={\int }_{0}^{x}{e}^{\cos t}dt$，我们首先计算$f(-x)$，以确定其奇偶性。
$f(-x)={\int }_{0}^{-x}{e}^{\cos t}dt$，通过变量替换$u=-t$，我们得到$f(-x)={\int }_{0}^{x}{e}^{\cos (-u)}du={\int }_{0}^{x}{e}^{\cos u}du=f(x)$，因此$f(x)$是偶函数。
步骤 2：确定函数g(x)的奇偶性
函数$g(x)={\int }_{0}^{\sin x}{e}^{t}dt$，我们同样计算$g(-x)$，以确定其奇偶性。
$g(-x)={\int }_{0}^{\sin (-x)}{e}^{t}dt={\int }_{0}^{-\sin x}{e}^{t}dt$，通过变量替换$u=-t$，我们得到$g(-x)=-{\int }_{0}^{\sin x}{e}^{-u}du=-g(x)$，因此$g(x)$是奇函数。