题目
已知 | 1 &lambda &2 lambda &4 &-1 1 &-2 &1 |=0，则 lambda= ()A. lambda=-3B. lambda=-2C. lambda=-3 或 lambda=2D. lambda=-2 或 lambda=-3
已知 $\left|\begin{array}{cccccc} 1 &\lambda &2 \\ \lambda &4 &-1 \\1 &-2 &1 \end{array}\right|=0$，则 $\lambda=$ ()
A. $\lambda=-3$
B. $\lambda=-2$
C. $\lambda=-3$ 或 $\lambda=2$
D. $\lambda=-2$ 或 $\lambda=-3$
题目解答
答案
D. $\lambda=-2$ 或 $\lambda=-3$
解析
步骤 1：计算行列式
计算行列式 $\begin{vmatrix}1&\lambda&2\\ \lambda&4&-1\\1&-2&1\end{vmatrix}$，使用行列式的展开公式，即：
\[ \begin{vmatrix}1&\lambda&2\\ \lambda&4&-1\\1&-2&1\end{vmatrix} = 1 \cdot (4 \cdot 1 - (-1) \cdot (-2)) - \lambda \cdot (\lambda \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + 2 \cdot (\lambda \cdot (-2) - 4 \cdot 1) \]
步骤 2：简化表达式
简化上述表达式，得到：
\[ = 1 \cdot 2 - \lambda \cdot (\lambda + 1) + 2 \cdot (-2\lambda - 4) \]
\[ = 2 - \lambda^2 - \lambda - 4\lambda - 8 \]
\[ = -\lambda^2 - 5\lambda - 6 \]
步骤 3：解方程
解方程 $-\lambda^2 - 5\lambda - 6 = 0$，得到：
\[ \lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0 \]
\[ (\lambda + 2)(\lambda + 3) = 0 \]
\[ \lambda = -2 \quad \text{或} \quad \lambda = -3 \]
计算行列式 $\begin{vmatrix}1&\lambda&2\\ \lambda&4&-1\\1&-2&1\end{vmatrix}$，使用行列式的展开公式，即：
\[ \begin{vmatrix}1&\lambda&2\\ \lambda&4&-1\\1&-2&1\end{vmatrix} = 1 \cdot (4 \cdot 1 - (-1) \cdot (-2)) - \lambda \cdot (\lambda \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + 2 \cdot (\lambda \cdot (-2) - 4 \cdot 1) \]
步骤 2：简化表达式
简化上述表达式，得到：
\[ = 1 \cdot 2 - \lambda \cdot (\lambda + 1) + 2 \cdot (-2\lambda - 4) \]
\[ = 2 - \lambda^2 - \lambda - 4\lambda - 8 \]
\[ = -\lambda^2 - 5\lambda - 6 \]
步骤 3：解方程
解方程 $-\lambda^2 - 5\lambda - 6 = 0$，得到：
\[ \lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0 \]
\[ (\lambda + 2)(\lambda + 3) = 0 \]
\[ \lambda = -2 \quad \text{或} \quad \lambda = -3 \]