题目
3.计算下列行列式:-|||-_(1)+(lambda )_(1) a2 an-|||-(1) a1 _(2)+(lambda )_(2) an-|||-((lambda )_(i)neq 0,i=1,2,... ,n) ;-|||-a1 a2 _(n)+(lambda )_(n)-|||-a1 a^(1-1)b1··· _(1)(b)_(1)-1 bπ-|||-a2 ({a)_(2)}^n-1(b)_(2) . _(2)(b)_(2)-1 b^n^2-|||-(2)-|||-((a)_(i)neq 0,i=1,2,... ,n+1).-|||-a ({a)_(n)}^n-1(b)_(n)... (a)_(n)({b)_(n)}^n-1 ^n-|||-^n+1 ({a)_(n+1)}^n(b)_(n+1) ···an+1bn+1 ^n+1
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算行列式 (1)
首先，我们注意到行列式 (1) 的形式，它是一个 n 阶行列式，其中对角线上的元素是 ${a}_{i}+{\lambda }_{i}$，而其他元素是 ${a}_{i}$。为了简化计算，我们可以使用行列式的性质，将每一行减去第一行，这样可以将行列式化简为一个上三角行列式。
步骤 2：化简行列式 (1)
将第 i 行减去第 1 行，得到：
${\lambda }_{1}$ a2-an a1 a2 + λ2-an a1 a2 ${a}_{n}+{\lambda }_{n}$-an
这样，行列式就化简为一个上三角行列式，其值为对角线元素的乘积。
步骤 3：计算行列式 (1) 的值
行列式 (1) 的值为：
${\lambda }_{1}({\lambda }_{2}+a_{2}-a_{1})\cdots({\lambda }_{n}+a_{n}-a_{1})$
步骤 4：计算行列式 (2)
行列式 (2) 是一个 (n+1) 阶行列式，其中每一行的元素都是 ${a}_{i}$ 的幂次和 ${b}_{i}$ 的幂次的乘积。为了简化计算，我们可以使用行列式的性质，将每一行减去第一行，这样可以将行列式化简为一个上三角行列式。
步骤 5：化简行列式 (2)
将第 i 行减去第 1 行，得到：
${{a}_{1}}^{n-1}{b}_{1}$ ${a}_{1}{{b}_{1}}^{n-1}$ bn^2 ${{a}_{2}}^{n}$ ${{a}_{2}}^{n-1}{b}_{2}$ ${a}_{2}{{b}_{2}}^{n-1}$ bn^2 ${{a}_{n}}^{n-1}{b}_{n}$ ${a}_{n}{b}_{n}^{n-1}$ bn ${{a}_{n+1}}^{n+1}$ ${{a}_{n+1}}^{n-1}{b}_{n+1}$ ···an+1b ${b}_{n+1}$
这样，行列式就化简为一个上三角行列式，其值为对角线元素的乘积。
步骤 6：计算行列式 (2) 的值
行列式 (2) 的值为：
${({a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n+1})}^{n}\quad II(\dfrac {{b}_{1}}{{a}_{i}}-\dfrac {{b}_{i}}{{a}_{i}})$
首先，我们注意到行列式 (1) 的形式，它是一个 n 阶行列式，其中对角线上的元素是 ${a}_{i}+{\lambda }_{i}$，而其他元素是 ${a}_{i}$。为了简化计算，我们可以使用行列式的性质，将每一行减去第一行，这样可以将行列式化简为一个上三角行列式。
步骤 2：化简行列式 (1)
将第 i 行减去第 1 行，得到：
${\lambda }_{1}$ a2-an a1 a2 + λ2-an a1 a2 ${a}_{n}+{\lambda }_{n}$-an
这样，行列式就化简为一个上三角行列式，其值为对角线元素的乘积。
步骤 3：计算行列式 (1) 的值
行列式 (1) 的值为：
${\lambda }_{1}({\lambda }_{2}+a_{2}-a_{1})\cdots({\lambda }_{n}+a_{n}-a_{1})$
步骤 4：计算行列式 (2)
行列式 (2) 是一个 (n+1) 阶行列式，其中每一行的元素都是 ${a}_{i}$ 的幂次和 ${b}_{i}$ 的幂次的乘积。为了简化计算，我们可以使用行列式的性质，将每一行减去第一行，这样可以将行列式化简为一个上三角行列式。
步骤 5：化简行列式 (2)
将第 i 行减去第 1 行，得到：
${{a}_{1}}^{n-1}{b}_{1}$ ${a}_{1}{{b}_{1}}^{n-1}$ bn^2 ${{a}_{2}}^{n}$ ${{a}_{2}}^{n-1}{b}_{2}$ ${a}_{2}{{b}_{2}}^{n-1}$ bn^2 ${{a}_{n}}^{n-1}{b}_{n}$ ${a}_{n}{b}_{n}^{n-1}$ bn ${{a}_{n+1}}^{n+1}$ ${{a}_{n+1}}^{n-1}{b}_{n+1}$ ···an+1b ${b}_{n+1}$
这样，行列式就化简为一个上三角行列式，其值为对角线元素的乘积。
步骤 6：计算行列式 (2) 的值
行列式 (2) 的值为：
${({a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n+1})}^{n}\quad II(\dfrac {{b}_{1}}{{a}_{i}}-\dfrac {{b}_{i}}{{a}_{i}})$