题目
已知Rt△ABC中，直角边AC、BC的长度分别为20、15，动点P从C出发，沿三角形边界按C→B→A方向移动；动点Q从C出发，沿三角形边界按C→A→B方向移动，移动到两点相遇时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍．设动点P移动的距离为x，△CPQ的面积为y，试求y与x之间的函数关系．
已知Rt△ABC中，直角边AC、BC的长度分别为20、15，动点P从C出发，沿三角形边界按C→B→A方向移动；动点Q从C出发，沿三角形边界按C→A→B方向移动，移动到两点相遇时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍．设动点P移动的距离为x，△CPQ的面积为y，试求y与x之间的函数关系．
题目解答
答案
解：∵Rt△ABC中，AC=20，BC=15，
∴AB=25，sinB=$\frac{4}{5}$，cosB=$\frac{3}{5}$，
∵点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍，
∴设动点P移动的距离为x，则动点Q移动的距离为2x，
若两点相遇时，则满足x+2x=20+15+25，
即3x=60，即x=20．
①若Q在BC上，则0≤2x≤15，即0≤x≤$\frac{15}{2}$时，
△CPQ的面积为y=$\frac{1}{2}$•CQ•CP=$\frac{1}{2}•x•2x$=x2．
②若Q在AB上，P在CA上时，满足$\left\{\begin{array}{l}{15≤2x≤40}\\{0≤x≤20}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{15}{2}≤x≤20}\\{0≤x≤20}\end{array}\right.$．
解得$\frac{15}{2}$≤x≤20，
则BQ=2x-BC=2x-15，BE=BQcosB=（2x-15）×$\frac{3}{5}$=$\frac{3（2x-15）}{5}$，
则三角形CPQ的高QF=EC=BC-BE=15-$\frac{3（2x-15）}{5}$=$\frac{120-6x}{5}$，
则△CPQ的面积为y=$\frac{1}{2}$•QF•CP=$\frac{1}{2}•x•$$\frac{120-6x}{5}$=$\frac{-3{x}^{2}+60x}{5}$，
即y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{0≤x≤\frac{15}{2}}\\{\frac{-3{x}^{2}+60x}{5}，}&{\frac{15}{2}＜x≤20}\end{array}\right.$．
∴AB=25，sinB=$\frac{4}{5}$，cosB=$\frac{3}{5}$，
∵点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍，
∴设动点P移动的距离为x，则动点Q移动的距离为2x，
若两点相遇时，则满足x+2x=20+15+25，
即3x=60，即x=20．
①若Q在BC上，则0≤2x≤15，即0≤x≤$\frac{15}{2}$时，
△CPQ的面积为y=$\frac{1}{2}$•CQ•CP=$\frac{1}{2}•x•2x$=x2．
②若Q在AB上，P在CA上时，满足$\left\{\begin{array}{l}{15≤2x≤40}\\{0≤x≤20}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{15}{2}≤x≤20}\\{0≤x≤20}\end{array}\right.$．
解得$\frac{15}{2}$≤x≤20，
则BQ=2x-BC=2x-15，BE=BQcosB=（2x-15）×$\frac{3}{5}$=$\frac{3（2x-15）}{5}$，
则三角形CPQ的高QF=EC=BC-BE=15-$\frac{3（2x-15）}{5}$=$\frac{120-6x}{5}$，
则△CPQ的面积为y=$\frac{1}{2}$•QF•CP=$\frac{1}{2}•x•$$\frac{120-6x}{5}$=$\frac{-3{x}^{2}+60x}{5}$，
即y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{0≤x≤\frac{15}{2}}\\{\frac{-3{x}^{2}+60x}{5}，}&{\frac{15}{2}＜x≤20}\end{array}\right.$．
解析
步骤 1：计算三角形ABC的斜边AB的长度
根据勾股定理，AB的长度为$\sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$。
步骤 2：确定点P和点Q的移动距离
设动点P移动的距离为x，则动点Q移动的距离为2x。
步骤 3：分析点P和点Q在三角形边界上的位置
当点P和点Q在三角形边界上移动时，它们的位置决定了△CPQ的面积。根据题目条件，点P和点Q的移动速度不同，因此它们在三角形边界上的位置会随时间变化。
步骤 4：计算△CPQ的面积
根据点P和点Q在三角形边界上的位置，可以将△CPQ的面积分为两种情况：
① 当点Q在BC上时，0≤2x≤15，即0≤x≤$\frac{15}{2}$时，△CPQ的面积为y=$\frac{1}{2}$•CQ•CP=$\frac{1}{2}•x•2x$=x^{2}。
② 当点Q在AB上，点P在CA上时，满足$\left\{\begin{array}{l}{15≤2x≤40}\\{0≤x≤20}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{15}{2}≤x≤20}\\{0≤x≤20}\end{array}\right.$。此时，BQ=2x-BC=2x-15，BE=BQcosB=（2x-15）×$\frac{3}{5}$=$\frac{3（2x-15）}{5}$，则三角形CPQ的高QF=EC=BC-BE=15-$\frac{3（2x-15）}{5}$=$\frac{120-6x}{5}$，则△CPQ的面积为y=$\frac{1}{2}$•QF•CP=$\frac{1}{2}•x•$$\frac{120-6x}{5}$=$\frac{-3{x}^{2}+60x}{5}$。
根据勾股定理，AB的长度为$\sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$。
步骤 2：确定点P和点Q的移动距离
设动点P移动的距离为x，则动点Q移动的距离为2x。
步骤 3：分析点P和点Q在三角形边界上的位置
当点P和点Q在三角形边界上移动时，它们的位置决定了△CPQ的面积。根据题目条件，点P和点Q的移动速度不同，因此它们在三角形边界上的位置会随时间变化。
步骤 4：计算△CPQ的面积
根据点P和点Q在三角形边界上的位置，可以将△CPQ的面积分为两种情况：
① 当点Q在BC上时，0≤2x≤15，即0≤x≤$\frac{15}{2}$时，△CPQ的面积为y=$\frac{1}{2}$•CQ•CP=$\frac{1}{2}•x•2x$=x^{2}。
② 当点Q在AB上，点P在CA上时，满足$\left\{\begin{array}{l}{15≤2x≤40}\\{0≤x≤20}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{15}{2}≤x≤20}\\{0≤x≤20}\end{array}\right.$。此时，BQ=2x-BC=2x-15，BE=BQcosB=（2x-15）×$\frac{3}{5}$=$\frac{3（2x-15）}{5}$，则三角形CPQ的高QF=EC=BC-BE=15-$\frac{3（2x-15）}{5}$=$\frac{120-6x}{5}$，则△CPQ的面积为y=$\frac{1}{2}$•QF•CP=$\frac{1}{2}•x•$$\frac{120-6x}{5}$=$\frac{-3{x}^{2}+60x}{5}$。