题目
设幂级数 sum _(n=0)^infty (a)_(n)(x)^n 的收敛半径为 (0lt Rlt +infty ), 则 sum _(n=0)^infty (a)_(n)((dfrac {x)(2))}^n 的收敛半径为[ ].-|||-(A)2R (B) dfrac (R)(2) (C)R (D) dfrac (2)(R)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定原幂级数的收敛条件
原幂级数 ${a}_{n}{x}^{n}$ 的收敛半径为 $R$，这意味着当 $|x| < R$ 时，幂级数收敛。
步骤 2：分析新幂级数的收敛条件
新幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(\dfrac {x}{2})}^{n}$ 可以看作是原幂级数 ${a}_{n}{x}^{n}$ 中的 $x$ 替换为 $\dfrac {x}{2}$。因此，新幂级数的收敛条件为 $|\dfrac {x}{2}| < R$。
步骤 3：求解新幂级数的收敛半径
由 $|\dfrac {x}{2}| < R$ 可得 $|x| < 2R$，因此新幂级数的收敛半径为 $2R$。
原幂级数 ${a}_{n}{x}^{n}$ 的收敛半径为 $R$，这意味着当 $|x| < R$ 时，幂级数收敛。
步骤 2：分析新幂级数的收敛条件
新幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(\dfrac {x}{2})}^{n}$ 可以看作是原幂级数 ${a}_{n}{x}^{n}$ 中的 $x$ 替换为 $\dfrac {x}{2}$。因此，新幂级数的收敛条件为 $|\dfrac {x}{2}| < R$。
步骤 3：求解新幂级数的收敛半径
由 $|\dfrac {x}{2}| < R$ 可得 $|x| < 2R$，因此新幂级数的收敛半径为 $2R$。