(2020,数三)曲线 +y+(e)^2xy=0 在点 (0,-1) 处的切线方程为 __

考查要点：本题主要考查隐函数求导法的应用，以及利用导数求曲线在某一点处的切线方程。

解题核心思路：

1. 隐函数求导：对给定的方程两边关于$x$求导，得到$\dfrac{dy}{dx}$的表达式。
2. 代入点坐标：将点$(0, -1)$代入导数表达式，计算出切线的斜率$k$。
3. 点斜式方程：利用点$(0, -1)$和斜率$k$，写出切线方程。

破题关键点：

• 正确应用链式法则和乘积法则处理复合函数$e^{2xy}$的导数。
• 代入数值时注意化简，尤其是$x=0$时某些项会消失，简化计算。

对原方程$x + y + e^{2xy} = 0$两边关于$x$求导：

1. 逐项求导：

   • $x$的导数为$1$。
   • $y$的导数为$\dfrac{dy}{dx}$。
   • $e^{2xy}$的导数需用链式法则和乘积法则：
     $\dfrac{d}{dx}e^{2xy} = e^{2xy} \cdot \dfrac{d}{dx}(2xy) = e^{2xy} \cdot (2y + 2x\dfrac{dy}{dx}).$

2. 整理方程：
   将上述结果代入原方程的导数形式：
   $1 + \dfrac{dy}{dx} + e^{2xy} \cdot (2y + 2x\dfrac{dy}{dx}) = 0.$

3. 解出$\dfrac{dy}{dx}$：
   将含$\dfrac{dy}{dx}$的项合并：
   $\dfrac{dy}{dx} \left(1 + 2xe^{2xy}\right) = -1 - 2ye^{2xy}.$
   因此，
   $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-1 - 2ye^{2xy}}{1 + 2xe^{2xy}}.$

4. 代入点$(0, -1)$：
   当$x=0$，$y=-1$时，$e^{2xy} = e^{0} = 1$，代入得：
   $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-1 - 2(-1)(1)}{1 + 2(0)(1)} = \dfrac{-1 + 2}{1} = 1.$
   即切线斜率$k=1$。

5. 写切线方程：
   用点斜式$y - y_0 = k(x - x_0)$，代入$(0, -1)$和$k=1$：
   $y - (-1) = 1 \cdot (x - 0) \implies y = x - 1.$