题目
设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"-y'+2=0,当曲线=y(x)过原点时,其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体的体积.
题目解答
答案
解微分方程xy"-y'+2=0,得其通解
其中
为任意常数,因为
通过原点时与直线x=1及y=0围成平面的面积为2,于是,可得
从而
所求非负函数为
在第一象限曲线y=f(x)表示为
D绕y轴旋转所得旋转体的体积为
其中
=
,
所以
解析
步骤 1：求解微分方程
微分方程为 $xy'' - y' + 2 = 0$。我们首先求解这个微分方程。设 $y' = p$，则 $y'' = p'$，代入微分方程得 $xp' - p + 2 = 0$。这是一个一阶线性微分方程，可以求解得到 $p = 2x + C_1$，其中 $C_1$ 是积分常数。再积分一次得到 $y = x^2 + C_1x + C_2$，其中 $C_2$ 是另一个积分常数。
步骤 2：确定常数
由于曲线 $y = y(x)$ 过原点，即 $y(0) = 0$，代入得到 $C_2 = 0$。又因为曲线与直线 $x = 1$ 及 $y = 0$ 围成的平面区域 $D$ 的面积为 $2$，即 $\int_0^1 y(x) dx = 2$。代入 $y = x^2 + C_1x$，得到 $\int_0^1 (x^2 + C_1x) dx = 2$。计算积分得到 $\frac{1}{3} + \frac{C_1}{2} = 2$，解得 $C_1 = 3$。因此，$y = x^2 + 3x$。
步骤 3：计算旋转体体积
旋转体的体积 $V$ 可以通过旋转体的体积公式计算，即 $V = \pi \int_0^1 x^2 dy$。由于 $y = x^2 + 3x$，解得 $x = \frac{-3 + \sqrt{9 + 4y}}{2}$。代入体积公式得到 $V = \pi \int_0^5 \left(\frac{-3 + \sqrt{9 + 4y}}{2}\right)^2 dy$。计算积分得到 $V = \frac{17}{6}\pi$。
微分方程为 $xy'' - y' + 2 = 0$。我们首先求解这个微分方程。设 $y' = p$，则 $y'' = p'$，代入微分方程得 $xp' - p + 2 = 0$。这是一个一阶线性微分方程，可以求解得到 $p = 2x + C_1$，其中 $C_1$ 是积分常数。再积分一次得到 $y = x^2 + C_1x + C_2$，其中 $C_2$ 是另一个积分常数。
步骤 2：确定常数
由于曲线 $y = y(x)$ 过原点，即 $y(0) = 0$，代入得到 $C_2 = 0$。又因为曲线与直线 $x = 1$ 及 $y = 0$ 围成的平面区域 $D$ 的面积为 $2$，即 $\int_0^1 y(x) dx = 2$。代入 $y = x^2 + C_1x$，得到 $\int_0^1 (x^2 + C_1x) dx = 2$。计算积分得到 $\frac{1}{3} + \frac{C_1}{2} = 2$，解得 $C_1 = 3$。因此，$y = x^2 + 3x$。
步骤 3：计算旋转体体积
旋转体的体积 $V$ 可以通过旋转体的体积公式计算，即 $V = \pi \int_0^1 x^2 dy$。由于 $y = x^2 + 3x$，解得 $x = \frac{-3 + \sqrt{9 + 4y}}{2}$。代入体积公式得到 $V = \pi \int_0^5 \left(\frac{-3 + \sqrt{9 + 4y}}{2}\right)^2 dy$。计算积分得到 $V = \frac{17}{6}\pi$。