题目
(2)微分方程 (x-2)dfrac (dy)(dx)=y+2((x-2))^3 的通解为 ()-|||-(A) =(x-2)-C((x-2))^2 (B) =C(x-2)+((x-2))^3-|||-(C) =((x-2))^3+Cx (D) =((x-2))^3+(Cx)^2
题目解答
答案
解析
步骤 1：分离变量
将微分方程 $(x-2)\dfrac {dy}{dx}=y+2{(x-2)}^{3}$ 重写为 $\dfrac {dy}{y+2{(x-2)}^{3}}=\dfrac {dx}{x-2}$，从而分离变量。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边积分，得到 $\int \dfrac {dy}{y+2{(x-2)}^{3}}=\int \dfrac {dx}{x-2}$。
步骤 3：求解积分
左边的积分是关于 $y$ 的积分，右边的积分是关于 $x$ 的积分。左边的积分可以看作是 $\int \dfrac {1}{y+2{(x-2)}^{3}}dy$，右边的积分是 $\int \dfrac {1}{x-2}dx$。左边的积分结果是 $\ln|y+2{(x-2)}^{3}|$，右边的积分结果是 $\ln|x-2|$。因此，我们得到 $\ln|y+2{(x-2)}^{3}|=\ln|x-2|+C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 4：化简
将上一步得到的方程化简，得到 $y+2{(x-2)}^{3}=C(x-2)$，其中 $C$ 是新的积分常数。
步骤 5：通解
将上一步得到的方程化简为 $y=C(x-2)-2{(x-2)}^{3}$，即 $y=C(x-2)+{(x-2)}^{3}$。
将微分方程 $(x-2)\dfrac {dy}{dx}=y+2{(x-2)}^{3}$ 重写为 $\dfrac {dy}{y+2{(x-2)}^{3}}=\dfrac {dx}{x-2}$，从而分离变量。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边积分，得到 $\int \dfrac {dy}{y+2{(x-2)}^{3}}=\int \dfrac {dx}{x-2}$。
步骤 3：求解积分
左边的积分是关于 $y$ 的积分，右边的积分是关于 $x$ 的积分。左边的积分可以看作是 $\int \dfrac {1}{y+2{(x-2)}^{3}}dy$，右边的积分是 $\int \dfrac {1}{x-2}dx$。左边的积分结果是 $\ln|y+2{(x-2)}^{3}|$，右边的积分结果是 $\ln|x-2|$。因此，我们得到 $\ln|y+2{(x-2)}^{3}|=\ln|x-2|+C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 4：化简
将上一步得到的方程化简，得到 $y+2{(x-2)}^{3}=C(x-2)$，其中 $C$ 是新的积分常数。
步骤 5：通解
将上一步得到的方程化简为 $y=C(x-2)-2{(x-2)}^{3}$，即 $y=C(x-2)+{(x-2)}^{3}$。