题目
4.(单选题)极限 lim _(xarrow infty )dfrac (x+sin x)(x)=1 (本题2.5分)-|||-A、正确-|||-B、错误
题目解答
答案
正确
解析
步骤 1：分析极限表达式
给定的极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {x+\sin x}{x}$。首先，我们注意到分子包含一个线性项 $x$ 和一个周期函数 $\sin x$，而分母是线性项 $x$。
步骤 2：简化极限表达式
我们可以将表达式重写为 $\lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+\dfrac {\sin x}{x}\right)$。这是因为 $\dfrac{x}{x} = 1$，而 $\dfrac{\sin x}{x}$ 是原表达式中 $\sin x$ 项除以 $x$ 的结果。
步骤 3：分析 $\dfrac {\sin x}{x}$ 的极限
当 $x$ 趋向于无穷大时，$\sin x$ 的值在 $[-1, 1]$ 之间波动，但 $\dfrac {\sin x}{x}$ 的值趋向于 $0$，因为分母 $x$ 趋向于无穷大，而分子 $\sin x$ 保持有限。因此，$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\sin x}{x} = 0$。
步骤 4：计算最终极限
根据步骤 3 的分析，$\lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+\dfrac {\sin x}{x}\right) = 1 + 0 = 1$。
给定的极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {x+\sin x}{x}$。首先，我们注意到分子包含一个线性项 $x$ 和一个周期函数 $\sin x$，而分母是线性项 $x$。
步骤 2：简化极限表达式
我们可以将表达式重写为 $\lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+\dfrac {\sin x}{x}\right)$。这是因为 $\dfrac{x}{x} = 1$，而 $\dfrac{\sin x}{x}$ 是原表达式中 $\sin x$ 项除以 $x$ 的结果。
步骤 3：分析 $\dfrac {\sin x}{x}$ 的极限
当 $x$ 趋向于无穷大时，$\sin x$ 的值在 $[-1, 1]$ 之间波动，但 $\dfrac {\sin x}{x}$ 的值趋向于 $0$，因为分母 $x$ 趋向于无穷大，而分子 $\sin x$ 保持有限。因此，$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\sin x}{x} = 0$。
步骤 4：计算最终极限
根据步骤 3 的分析，$\lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+\dfrac {\sin x}{x}\right) = 1 + 0 = 1$。