已知 L 是圆周^2+(y)^2=2x位于 x 轴 上方的部分，则曲线积分^2+(y)^2=2x___

考查要点：本题主要考查对弧长的曲线积分的计算，以及利用曲线方程化简被积函数的能力。

解题核心思路：

1. 识别曲线形状：将圆的一般方程化为标准形式，确定圆心和半径。
2. 简化被积函数：利用曲线方程消去被积函数中的变量项，将积分转化为弧长的计算。
3. 几何意义直接求解：当被积函数为常数1时，积分结果等于曲线的弧长。

破题关键点：

• 代入曲线方程：利用$x^2 + y^2 = 2x$，将被积函数中的$x^2 + y^2 - 2x$替换为0。
• 判断曲线范围：明确积分路径$L$是半径为1的上半圆，弧长为$\pi$。

1. 化简曲线方程
   原方程$x^2 + y^2 = 2x$可变形为：
   $(x-1)^2 + y^2 = 1$
   说明圆心为$(1,0)$，半径$r=1$，且$L$是该圆在$x$轴上方的半圆。

2. 简化被积函数
   根据曲线方程$x^2 + y^2 = 2x$，代入被积函数：
   $x^2 + y^2 - 2x + 1 = (2x) - 2x + 1 = 1$
   因此，积分变为：
   $\int_L 1 \, ds$

3. 计算弧长
   曲线$L$是半径为1的半圆，其弧长为：
   $C = \pi \cdot r = \pi \cdot 1 = \pi$