题目
1.(2020·课标全国Ⅲ(文),20(1))已知函数 (x)=(x)^3-kx-|||-+(k)^2-|||-讨论f(x)的单调性;
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $f(x)={x}^{3}-kx+{k}^{2}$ 的导数 $f'(x)$。根据导数的定义，我们有：
$$f'(x)=\frac{d}{dx}({x}^{3}-kx+{k}^{2})=3{x}^{2}-k$$
步骤 2：讨论导数的符号
接下来，我们需要讨论导数 $f'(x)=3{x}^{2}-k$ 的符号，以确定函数 $f(x)$ 的单调性。这取决于 $k$ 的值。
- 当 $k=0$ 时，$f'(x)=3{x}^{2}$，显然 $f'(x)\geq 0$ 对于所有的 $x$，因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增。
- 当 $k<0$ 时，$f'(x)=3{x}^{2}-k$，由于 $3{x}^{2}\geq 0$ 对于所有的 $x$，而 $-k>0$，因此 $f'(x)>0$ 对于所有的 $x$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增。
- 当 $k>0$ 时，$f'(x)=3{x}^{2}-k$，这是一个开口向上的抛物线，其根为 $x=\pm\sqrt{\frac{k}{3}}$。因此，$f'(x)$ 在 $(-\infty,-\sqrt{\frac{k}{3}})$ 和 $(\sqrt{\frac{k}{3}},+\infty)$ 上大于0，在 $(-\sqrt{\frac{k}{3}},\sqrt{\frac{k}{3}})$ 上小于0。这意味着 $f(x)$ 在 $(-\infty,-\sqrt{\frac{k}{3}})$ 和 $(\sqrt{\frac{k}{3}},+\infty)$ 上单调递增，在 $(-\sqrt{\frac{k}{3}},\sqrt{\frac{k}{3}})$ 上单调递减。
首先，我们需要求出函数 $f(x)={x}^{3}-kx+{k}^{2}$ 的导数 $f'(x)$。根据导数的定义，我们有：
$$f'(x)=\frac{d}{dx}({x}^{3}-kx+{k}^{2})=3{x}^{2}-k$$
步骤 2：讨论导数的符号
接下来，我们需要讨论导数 $f'(x)=3{x}^{2}-k$ 的符号，以确定函数 $f(x)$ 的单调性。这取决于 $k$ 的值。
- 当 $k=0$ 时，$f'(x)=3{x}^{2}$，显然 $f'(x)\geq 0$ 对于所有的 $x$，因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增。
- 当 $k<0$ 时，$f'(x)=3{x}^{2}-k$，由于 $3{x}^{2}\geq 0$ 对于所有的 $x$，而 $-k>0$，因此 $f'(x)>0$ 对于所有的 $x$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增。
- 当 $k>0$ 时，$f'(x)=3{x}^{2}-k$，这是一个开口向上的抛物线，其根为 $x=\pm\sqrt{\frac{k}{3}}$。因此，$f'(x)$ 在 $(-\infty,-\sqrt{\frac{k}{3}})$ 和 $(\sqrt{\frac{k}{3}},+\infty)$ 上大于0，在 $(-\sqrt{\frac{k}{3}},\sqrt{\frac{k}{3}})$ 上小于0。这意味着 $f(x)$ 在 $(-\infty,-\sqrt{\frac{k}{3}})$ 和 $(\sqrt{\frac{k}{3}},+\infty)$ 上单调递增，在 $(-\sqrt{\frac{k}{3}},\sqrt{\frac{k}{3}})$ 上单调递减。