题目
函数(x)=dfrac ({e)^x-a}((x-b)(x+1))有无穷间断点x=0及可去间断点x=-1,求常数a,b的值.
函数
有无穷间断点x=0及可去间断点x=-1,求常数a,b的值.
题目解答
答案
因为 x = 0 是无穷间断点，所以
，意味着分母趋于 0 ，而分子不为 0 ，即
。
因为 x = -1 是可去间断点，所以
存在，即
，解得
。
综上， 
。
答案：.
解析
步骤 1：确定无穷间断点的条件
由于 x = 0 是无穷间断点，这意味着当 x 趋近于 0 时，函数$f(x)=\dfrac {{e}^{x}-a}{(x-b)(x+1)}$的分母趋于 0，而分子不为 0。因此，分母$(x-b)(x+1)$在 x = 0 时应为 0，即$(0-b)(0+1)=0$，从而得出 b = 0。
步骤 2：确定可去间断点的条件
由于 x = -1 是可去间断点，这意味着当 x 趋近于 -1 时，函数$f(x)=\dfrac {{e}^{x}-a}{(x-b)(x+1)}$的极限存在。因此，分子${e}^{x}-a$在 x = -1 时应为 0，即${e}^{-1}-a=0$，从而得出$a=\dfrac {1}{e}$。
步骤 3：验证结果
根据步骤 1 和步骤 2，我们得出 a 和 b 的值分别为$a=\dfrac {1}{e}$和 b = 0。这些值满足题目中关于无穷间断点和可去间断点的条件。
由于 x = 0 是无穷间断点，这意味着当 x 趋近于 0 时，函数$f(x)=\dfrac {{e}^{x}-a}{(x-b)(x+1)}$的分母趋于 0，而分子不为 0。因此，分母$(x-b)(x+1)$在 x = 0 时应为 0，即$(0-b)(0+1)=0$，从而得出 b = 0。
步骤 2：确定可去间断点的条件
由于 x = -1 是可去间断点，这意味着当 x 趋近于 -1 时，函数$f(x)=\dfrac {{e}^{x}-a}{(x-b)(x+1)}$的极限存在。因此，分子${e}^{x}-a$在 x = -1 时应为 0，即${e}^{-1}-a=0$，从而得出$a=\dfrac {1}{e}$。
步骤 3：验证结果
根据步骤 1 和步骤 2，我们得出 a 和 b 的值分别为$a=\dfrac {1}{e}$和 b = 0。这些值满足题目中关于无穷间断点和可去间断点的条件。