题目
求极限lim _(xarrow 0)(dfrac (1)({sin )^2x}-dfrac ({cos )^2x}({x)^2})= ()
求极限
题目解答
答案
本题答案为
解：由题可知：先通分得：
根据二倍角公式：
可得：上式
然后便可利用常见的无穷小代换：
可得：上式
观察可得其满足
型，因此可使用洛必达法则：上式
仍然满足型，因此可再次使用洛必达法则：上式
根据常用无穷小代换：
可得：
∴上式
∴本题答案为
解析
步骤 1：通分
首先，将给定的极限表达式进行通分，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{{\sin }^{2}x}-\dfrac {{\cos }^{2}x}{{x}^{2}}) = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{{x}^{2}{\sin }^{2}x}$$
步骤 2：应用二倍角公式
利用二倍角公式 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$，将上式中的 $\sin^2 x \cos^2 x$ 替换为 $\frac{1}{4}\sin^2 2x$，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}-\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x}{{x}^{2}{\sin }^{2}x}$$
步骤 3：使用无穷小代换
根据无穷小代换 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=\lim _{f(x)\rightarrow 0}f(x)$，将上式中的 $\sin^2 2x$ 替换为 $4x^2$，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}-\frac{1}{4}(4x^2)}{{x}^{2}{\sin }^{2}x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}-x^2}{{x}^{2}{\sin }^{2}x}$$
步骤 4：应用洛必达法则
由于上式仍然满足型，因此可使用洛必达法则，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x-\sin 2x\cos 2x}{4{x}^{3}}$$
步骤 5：再次应用洛必达法则
由于上式仍然满足型，因此可再次使用洛必达法则，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2-2\cos 4x}{12{x}^{2}}$$
步骤 6：应用无穷小代换
根据常用无穷小代换 $\lim _{f(x)\rightarrow 0}[ 1-\cos f(x)] =\lim _{f(x)\rightarrow 0}\dfrac {{f}^{2}(x)}{f(x)}$，将上式中的 $1-\cos 4x$ 替换为 $\frac{1}{2}(4x)^2$，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\cdot \frac{1}{2}(4x)^2}{12{x}^{2}}$$
步骤 7：计算最终结果
计算上式，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {16{x}^{2}}{12{x}^{2}} = \dfrac {16}{12} = \dfrac {4}{3}$$
首先，将给定的极限表达式进行通分，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{{\sin }^{2}x}-\dfrac {{\cos }^{2}x}{{x}^{2}}) = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{{x}^{2}{\sin }^{2}x}$$
步骤 2：应用二倍角公式
利用二倍角公式 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$，将上式中的 $\sin^2 x \cos^2 x$ 替换为 $\frac{1}{4}\sin^2 2x$，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}-\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x}{{x}^{2}{\sin }^{2}x}$$
步骤 3：使用无穷小代换
根据无穷小代换 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=\lim _{f(x)\rightarrow 0}f(x)$，将上式中的 $\sin^2 2x$ 替换为 $4x^2$，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}-\frac{1}{4}(4x^2)}{{x}^{2}{\sin }^{2}x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}-x^2}{{x}^{2}{\sin }^{2}x}$$
步骤 4：应用洛必达法则
由于上式仍然满足型，因此可使用洛必达法则，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x-\sin 2x\cos 2x}{4{x}^{3}}$$
步骤 5：再次应用洛必达法则
由于上式仍然满足型，因此可再次使用洛必达法则，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2-2\cos 4x}{12{x}^{2}}$$
步骤 6：应用无穷小代换
根据常用无穷小代换 $\lim _{f(x)\rightarrow 0}[ 1-\cos f(x)] =\lim _{f(x)\rightarrow 0}\dfrac {{f}^{2}(x)}{f(x)}$，将上式中的 $1-\cos 4x$ 替换为 $\frac{1}{2}(4x)^2$，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\cdot \frac{1}{2}(4x)^2}{12{x}^{2}}$$
步骤 7：计算最终结果
计算上式，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {16{x}^{2}}{12{x}^{2}} = \dfrac {16}{12} = \dfrac {4}{3}$$