求极限lim _(xarrow 0)(dfrac (1)({sin )^2x}-dfrac ({cos )^2x}({x)^2})= ()

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及三角函数恒等变换、等价无穷小代换以及洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 通分将原式转化为分式形式，便于后续处理；
2. 二倍角公式简化分子中的三角函数表达式；
3. 泰勒展开或等价无穷小展开分子和分母，直接计算极限；
4. 若直接展开困难，可考虑洛必达法则，但需注意导数计算的准确性。

破题关键点：

• 通过通分将原式转化为分式，简化运算；
• 利用$\sin 2x = 2\sin x \cos x$将分子中的$\sin^2 x \cos^2 x$转化为$\sin^2 2x$；
• 对分子和分母进行泰勒展开或等价无穷小代换，避免复杂的洛必达法则应用。

步骤1：通分
原式可通分得：
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\cos^2 x}{x^2} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2 x \cos^2 x}{x^2 \sin^2 x}.$

步骤2：应用二倍角公式
利用$\sin 2x = 2\sin x \cos x$，得：
$\sin^2 x \cos^2 x = \left( \frac{\sin 2x}{2} \right)^2 = \frac{\sin^2 2x}{4}.$
代入分子得：
$x^2 - \frac{\sin^2 2x}{4}.$

步骤3：泰勒展开或等价无穷小代换

• 当$x \to 0$时，$\sin 2x \approx 2x - \frac{(2x)^3}{6} = 2x - \frac{4x^3}{3}$，因此：
  $\sin^2 2x \approx (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot \frac{4x^3}{3} = 4x^2 - \frac{8x^4}{3}.$
  代入分子得：
  $x^2 - \frac{1}{4}\left(4x^2 - \frac{8x^4}{3}\right) = x^2 - x^2 + \frac{2x^4}{3} = \frac{2x^4}{3}.$

• 分母$\sin^2 x \approx x^2 - \frac{x^4}{3}$，因此：
  $x^2 \sin^2 x \approx x^2 \left(x^2 - \frac{x^4}{3}\right) = x^4 - \frac{x^6}{3}.$

步骤4：计算极限
将分子和分母代入分式：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x^4}{3}}{x^4 - \frac{x^6}{3}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{x^2}{3}} = \frac{2}{3}.$
但此处存在错误，正确展开应为：
分子实际为$\frac{4x^4}{3}$（修正步骤3中的系数），因此：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{4x^4}{3}}{x^4} = \frac{4}{3}.$