2.求函数(x,y)=(e)^2x(x+(y)^2+2y)的极值

步骤 1：求偏导数
首先，我们需要求出函数$f(x;y)={e}^{2x}(x+{y}^{2}+2y)$的偏导数。对于$x$和$y$，分别求偏导数。
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 2e^{2x}(x+y^2+2y) + e^{2x} = e^{2x}(2x+2y^2+4y+1)
$$
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{2x}(2y+2)
$$
步骤 2：求驻点
令偏导数等于0，求解$x$和$y$的值。
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{2x}(2x+2y^2+4y+1) = 0
$$
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{2x}(2y+2) = 0
$$
由于$e^{2x}$不等于0，所以有：
$$
2x+2y^2+4y+1 = 0
$$
$$
2y+2 = 0
$$
解得$y=-1$，代入第一个方程得$x=\frac{1}{2}$。因此，驻点为$(\frac{1}{2}, -1)$。
步骤 3：判断极值
为了判断极值，我们需要计算二阶偏导数，并使用Hessian矩阵。
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 4e^{2x}(x+y^2+2y) + 2e^{2x} = e^{2x}(4x+4y^2+8y+2)
$$
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2e^{2x}
$$
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 4e^{2x}(y+1)
$$
在驻点$(\frac{1}{2}, -1)$处，计算Hessian矩阵的行列式：
$$
H = \begin{vmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
2e & 0 \\
0 & 2e
\end{vmatrix} = 4e^2 > 0
$$
由于$H>0$且$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0$，所以函数$f(x;y)$在$(\frac{1}{2}, -1)$处取得极小值。