题目
设函数u(x,y)在有界闭区域D上连续,在D的内部具有2阶连续偏导数,且满足u(x,y)及u(x,y),则 A. u(x,y) 的最大值和最小值都在D的边界上取得. B. u(x,y) 的最大值和最小值都在D的内部取得. C. u(x,y) 的最大值在D的内部取得,最小值在D的边界上取得. D. 的最小值在D的内部取得,最大值在D的边界上取得.
设函数
在有界闭区域D上连续,在D的内部具有2阶连续偏导数,且满足
及
,则
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的最大值和最小值都在D的边界上取得.
-
的最大值和最小值都在D的内部取得.
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的最大值在D的内部取得,最小值在D的边界上取得.
-
的最小值在D的内部取得,最大值在D的边界上取得.
题目解答
答案
A
解析
步骤 1：理解条件
函数$u(x,y)$在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足$\frac{∂^{2}u}{∂x∂y}≠0$及$\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}}+\frac{∂^{2}u}{∂y^{2}}=0$。这意味着$u(x,y)$是调和函数，即满足拉普拉斯方程。
步骤 2：应用极值原理
根据调和函数的极值原理，调和函数在有界闭区域D上的最大值和最小值只能在边界上取得，而不能在内部取得。这是因为调和函数在内部没有局部极值点。
步骤 3：验证选项
根据极值原理，选项A是正确的，即$u(x,y)$的最大值和最小值都在D的边界上取得。其他选项均不符合极值原理。
函数$u(x,y)$在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足$\frac{∂^{2}u}{∂x∂y}≠0$及$\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}}+\frac{∂^{2}u}{∂y^{2}}=0$。这意味着$u(x,y)$是调和函数，即满足拉普拉斯方程。
步骤 2：应用极值原理
根据调和函数的极值原理，调和函数在有界闭区域D上的最大值和最小值只能在边界上取得，而不能在内部取得。这是因为调和函数在内部没有局部极值点。
步骤 3：验证选项
根据极值原理，选项A是正确的，即$u(x,y)$的最大值和最小值都在D的边界上取得。其他选项均不符合极值原理。