设函数u(x,y)在有界闭区域D上连续,在D的内部具有2阶连续偏导数,且满足u(x,y)及u(x,y),则 A. u(x,y) 的最大值和最小值都在D的边界上取得. B. u(x,y) 的最大值和最小值都在D的内部取得. C. u(x,y) 的最大值在D的内部取得,最小值在D的边界上取得. D. 的最小值在D的内部取得,最大值在D的边界上取得.

考查要点：本题主要考查调和函数的最大值原理及其应用。题目中给出的条件$\frac{∂²u}{∂x²} + \frac{∂²u}{∂y²} = 0$表明$u(x,y)$是调和函数，而$\frac{∂²u}{∂x∂y} ≠ 0$强调函数的非退化性。

解题核心思路：
调和函数在有界闭区域D上的最大值和最小值必定出现在边界上，这是由最大值原理直接推导得出的结论。无论混合偏导数是否为零，只要函数满足拉普拉斯方程，其极值位置由最大值原理决定。

破题关键点：

1. 识别题目中的拉普拉斯方程，明确$u(x,y)$是调和函数。
2. 应用最大值原理，排除内部取得极值的可能性。
3. 注意$\frac{∂²u}{∂x∂y} ≠ 0$的条件不改变极值位置的结论，仅用于排除特殊情形。

调和函数的最大值原理指出：
若函数$u(x,y)$在有界闭区域D上连续，在内部满足拉普拉斯方程$\frac{∂²u}{∂x²} + \frac{∂²u}{∂y²} = 0$，则$u(x,y)$的最大值和最小值必定出现在D的边界上，内部不可能取得极值。

关键推导：

1. 假设内部存在极大值点：若$u$在内部某点$(x_0,y_0)$取得极大值，则根据泰勒展开和拉普拉斯方程，可推出矛盾（$\frac{∂²u}{∂x²} + \frac{∂²u}{∂y²} ≤ 0$，但实际等于0）。
2. 同理，极小值也无法在内部取得。
3. 混合偏导数条件$\frac{∂²u}{∂x∂y} ≠ 0$仅说明函数形态复杂，不影响极值位置的结论。