[题目]-|||-设 f(x)= ) x, |x|leqslant 1 x-2,|x|gt 1 . 试讨论limf(x )及limf(x).

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的极限是否存在，需要分别计算左右极限并进行比较。

解题核心思路：
对于分段函数，当自变量趋近于分段点时，必须分别计算左极限和右极限。只有当左右极限相等时，极限才存在。若左右极限不相等，则极限不存在。

破题关键点：

1. 明确分段函数在不同区间的表达式；
2. 分别代入左右极限的定义进行计算；
3. 比较左右极限的值，判断极限是否存在。

讨论 $\lim _{x\rightarrow 1}f(x)$

计算左极限 $\lim _{x\rightarrow 1^-}f(x)$

当 $x$ 从左侧趋近于 $1$ 时，$x$ 满足 $|x| \leqslant 1$，此时 $f(x) = x$。
因此，左极限为：
$\lim _{x\rightarrow 1^-}f(x) = \lim _{x\rightarrow 1^-}x = 1.$

计算右极限 $\lim _{x\rightarrow 1^+}f(x)$

当 $x$ 从右侧趋近于 $1$ 时，$x$ 满足 $|x| > 1$，此时 $f(x) = x - 2$。
因此，右极限为：
$\lim _{x\rightarrow 1^+}f(x) = \lim _{x\rightarrow 1^+}(x - 2) = 1 - 2 = -1.$

结论

由于左极限 $1 \neq$ 右极限 $-1$，故 $\lim _{x\rightarrow 1}f(x)$ 不存在。

讨论 $\lim _{x\rightarrow -1}f(x)$

计算右极限 $\lim _{x\rightarrow -1^+}f(x)$

当 $x$ 从右侧趋近于 $-1$ 时，$x$ 满足 $|x| \leqslant 1$，此时 $f(x) = x$。
因此，右极限为：
$\lim _{x\rightarrow -1^+}f(x) = \lim _{x\rightarrow -1^+}x = -1.$

计算左极限 $\lim _{x\rightarrow -1^-}f(x)$

当 $x$ 从左侧趋近于 $-1$ 时，$x$ 满足 $|x| > 1$，此时 $f(x) = x - 2$。
因此，左极限为：
$\lim _{x\rightarrow -1^-}f(x) = \lim _{x\rightarrow -1^-}(x - 2) = -1 - 2 = -3.$

结论

由于右极限 $-1 \neq$ 左极限 $-3$，故 $\lim _{x\rightarrow -1}f(x)$ 不存在。