题目
选择题(每小题4分,共20分)-|||-1.若函数f(x )= |} x& 1& 1& 1 1& x& 1& 1 1& 1& x& 1 1& 1& 1& x | . 则 f(x)=0 的解为 ()-|||-(A)3,2.2.2 (B) 3,3,3, -1 (C)2,2,2,1 (D) -3,1,1,1-|||-?"n阶方阵A可逆",则下列旦
题目解答
答案
解析 (B) 由 f(x)=0 得 x^3-3x^2+3x-1=0 ,即 (x-1)(x^2-2x+1)=0 ,解得 x=1 或 x=1 ±i ,故选(B).
解析
步骤 1：计算行列式
给定的行列式为：
$$
f(x) = \left |\begin{matrix} x& 1& 1& 1\\ 1& x& 1& 1\\ 1& 1& x& 1\\ 1& 1& 1& x\end{matrix} | \right.
$$
步骤 2：简化行列式
通过行列式的性质，我们可以对行列式进行简化。首先，将第1行减去第2行、第3行和第4行，得到：
$$
f(x) = \left |\begin{matrix} x-1& 0& 0& 0\\ 1& x& 1& 1\\ 1& 1& x& 1\\ 1& 1& 1& x\end{matrix} | \right.
$$
步骤 3：计算简化后的行列式
由于第一行只有一个非零元素，行列式可以简化为：
$$
f(x) = (x-1) \left |\begin{matrix} x& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{matrix} | \right.
$$
步骤 4：计算3阶行列式
计算3阶行列式：
$$
\left |\begin{matrix} x& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{matrix} | \right. = x(x^2-1) - 1(x-1) + 1(1-x) = x^3 - 3x + 2
$$
步骤 5：求解方程
将步骤4的结果代入步骤3，得到：
$$
f(x) = (x-1)(x^3 - 3x + 2)
$$
令 $f(x) = 0$，得到：
$$
(x-1)(x^3 - 3x + 2) = 0
$$
解得 $x = 1$ 或 $x^3 - 3x + 2 = 0$。解方程 $x^3 - 3x + 2 = 0$，得到 $x = 1$ 或 $x = -1$。
给定的行列式为：
$$
f(x) = \left |\begin{matrix} x& 1& 1& 1\\ 1& x& 1& 1\\ 1& 1& x& 1\\ 1& 1& 1& x\end{matrix} | \right.
$$
步骤 2：简化行列式
通过行列式的性质，我们可以对行列式进行简化。首先，将第1行减去第2行、第3行和第4行，得到：
$$
f(x) = \left |\begin{matrix} x-1& 0& 0& 0\\ 1& x& 1& 1\\ 1& 1& x& 1\\ 1& 1& 1& x\end{matrix} | \right.
$$
步骤 3：计算简化后的行列式
由于第一行只有一个非零元素，行列式可以简化为：
$$
f(x) = (x-1) \left |\begin{matrix} x& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{matrix} | \right.
$$
步骤 4：计算3阶行列式
计算3阶行列式：
$$
\left |\begin{matrix} x& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{matrix} | \right. = x(x^2-1) - 1(x-1) + 1(1-x) = x^3 - 3x + 2
$$
步骤 5：求解方程
将步骤4的结果代入步骤3，得到：
$$
f(x) = (x-1)(x^3 - 3x + 2)
$$
令 $f(x) = 0$，得到：
$$
(x-1)(x^3 - 3x + 2) = 0
$$
解得 $x = 1$ 或 $x^3 - 3x + 2 = 0$。解方程 $x^3 - 3x + 2 = 0$，得到 $x = 1$ 或 $x = -1$。